“หน้ากำลังสอง บวกสองหน้าหลัง บวกหลังกำลังสอง” \((หน้า – หลัง)^2 = (หน้า)^2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)^2\)
“หน้ากำลังสอง ลบสองหน้าหลัง บวกหลังกำลังสอง”
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนพหุนาม \(x^2 + 4x + 5\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ
- จัดตัวหน้าให้อยู่ในรูปกำลังสอง
\(\Rightarrow x^2\) อยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว แสดงว่าตัวหน้าของเราคือ \(x\) - จัดรูป “บวกสองหน้าหลัง” เพื่อหาว่าหลังคืออะไร
\(\Rightarrow\) ตัวหน้าของเราคือ \(x\) ดังนั้น สองหน้าหลังก็จะเป็น \(4x = 2x(2)\) แสดงว่าหลังคือ \(2\) - จัดรูป “บวกหลังกำลังสอง”
\(\Rightarrow\) หลังของเราคือ \(2\) เราจึงใส่ \(2^2\) เพิ่มเข้าไปเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วต้องลบออกด้วย เพื่อให้ค่าเท่าเดิม
\(\begin{align*}x^2 + 4x + 5 &= [x^2 + 2x(2) \bbox[yellow]{+ 2^2 – 2^2}] + 5 \\
&= [x^2 + 2x(2) + 2^2] – 2^2 + 5 \\
&= [x^2 + 2x(2) + 2^2] – 4 + 5\end{align*}\) - จัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ \((หน้า + หลัง)^2\)
\( x^2 + 4x + 5 = [x + 2]^2 + 1\)
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนพหุนาม \(4x^2 + 4x – 7\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ ถ้าสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\) ไม่ใช่ 1 ให้ดึงสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\) ออกก่อนโดยไม่เกี่ยวกับเลขตัวสุดท้าย
- จัดสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\)
\(4x^2 + 4x – 7 = 4(x^2 + x) – 7 \) - จัดตัวหน้าให้อยู่ในรูปกำลังสอง
\(\Rightarrow x^2\) อยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว แสดงว่าตัวหน้าของเราคือ \(x\) - จัดรูป “บวกสองหน้าหลัง” เพื่อหาว่าหลังคืออะไร
\(\Rightarrow\) ตัวหน้าของเราคือ \(x\) ดังนั้น สองหน้าหลังก็จะเป็น \(x = 2(x)(\frac{1}{2})\) แสดงว่าหลังคือ \(\frac{1}{2}\) - จัดรูป “บวกหลังกำลังสอง”
\(\Rightarrow\) หลังของเราคือ \(\frac{1}{2}\) เราจึงใส่ \((\frac{1}{2})^2\) เพิ่มเข้าไปเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วต้องลบออกด้วย เพื่อให้ค่าเท่าเดิม
\(\begin{align*}4(x^2 + x) – 7 &= 4[x^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) \bbox[yellow]{+ (\frac{1}{2})^2 – (\frac{1}{2})^2}] – 7 \\
&= 4[x^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2] – 4(\frac{1}{4}) – 7 \\
&= 4[x^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2] – 8\end{align*}\) - จัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ \((หน้า + หลัง)^2\)
\(4x^2 + 4x – 7 = 4(x + \frac{1}{2})^2 – 8\)
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนพหุนาม \(5 + 8x – x^2\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) มีค่าเป็นลบ ให้ดึงเครื่องหมายลบออกมาก่อนโดยไม่เกี่ยวกับเลขตัวสุดท้าย
- ดึงเครื่องหมายลบออกมา
\(5 + 8x – x^2 = -(x^2 – 8x) + 5\) - จัดตัวหน้าให้อยู่ในรูปกำลังสอง
\(\Rightarrow x^2\) อยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว แสดงว่าตัวหน้าของเราคือ \(x\) - จัดรูป “ลบสองหน้าหลัง” เพื่อหาว่าหลังคืออะไร
\(\Rightarrow\) ตัวหน้าของเราคือ \(x\) ดังนั้น สองหน้าหลังก็จะเป็น \(-8x = -2(x)(4)\) แสดงว่าหลังคือ \(4\) - จัดรูป “บวกหลังกำลังสอง”
\(\Rightarrow\) หลังของเราคือ \(4\) เราจึงใส่ \(4^2\) เพิ่มเข้าไปเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วต้องลบออกด้วย เพื่อให้ค่าเท่าเดิม
\(\begin{align*}-(x^2 – 8x) + 5 &= -[x^2 – 2(x)(4) \bbox[yellow]{+ 4^2 – 4^2}] + 5 \\
&= -[(x^2 – 2(x)(4) + 4^2)] -(-16) + 5 \\
&= -[x^2 – 2(x)(4) + 4^2] + 16 + 5\end{align*}\) - จัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ \((หน้า – หลัง)^2\)
\(\begin{align*}5 + 8x – x^2 &= -[(x-4)^2] + 21 \\
&= 21 – (x – 4)^2\end{align*}\)
ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนพหุนาม \(1 – 2x – 2x^2\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) มีค่าเป็นลบ ให้ดึงเครื่องหมายลบออกมาก่อน และถ้าสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\) ไม่ใช่ 1 ให้ดึงสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\) ออกโดยไม่เกี่ยวกับเลขตัวสุดท้าย
- ดึงเครื่องหมายลบออกมา และจัดสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\)
\(\begin{align*}1 – 2x – 2x^2 &= -(2x^2 + 2x) + 1 \\
&= -2(x^2 + x) + 1 \end{align*}\) - จัดตัวหน้าให้อยู่ในรูปกำลังสอง
\(\Rightarrow x^2\) อยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว แสดงว่าตัวหน้าของเราคือ \(x\) - จัดรูป “บวกสองหน้าหลัง” เพื่อหาว่าหลังคืออะไร
\(\Rightarrow\) ตัวหน้าของเราคือ \(x\) ดังนั้น สองหน้าหลังก็จะเป็น \(x = 2(x)(\frac{1}{2})\) แสดงว่าหลังคือ \(\frac{1}{2}\) - จัดรูป “บวกหลังกำลังสอง”
\(\Rightarrow\) หลังของเราคือ \(\frac{1}{2}\) เราจึงใส่ \((\frac{1}{2})^2\) เพิ่มเข้าไปเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วต้องลบออกด้วย เพื่อให้ค่าเท่าเดิม
\(\begin{align*}-2(x^2 + x) + 1 &= -2[x^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) \bbox[yellow]{+ (\frac{1}{2})^2 – (\frac{1}{2})^2}] + 1 \\
&= -2[(x^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2)] – 2(-\frac{1}{4}) + 1 \\
&= -2[(x^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2)] + (\frac{3}{2})\end{align*}\) - จัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ \((หน้า – หลัง)^2\)
\(\begin{align*}1 – 2x – 2x^2 &= -2[x + (\frac{1}{2})]^2 + (\frac{3}{2}) \\
&= (\frac{3}{2}) – 2[x + (\frac{1}{2})]^2\end{align*}\)
ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนพหุนาม \(7 + 5x – 3x^2\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) มีค่าเป็นลบ ให้ดึงเครื่องหมายลบออกมาก่อน และถ้าสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\) ไม่ใช่ 1 ให้ดึงสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\) ออกโดยไม่เกี่ยวกับเลขตัวสุดท้าย
- ดึงเครื่องหมายลบออกมา และจัดสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\)
\(\begin{align*}7 + 5x – 3x^2 &= -(3x^2 – 5x) + 7 \\
&= -3(x^2 – \frac{5}{3}x) + 7 \end{align*}\) - จัดตัวหน้าให้อยู่ในรูปกำลังสอง
\(\Rightarrow x^2\) อยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว แสดงว่าตัวหน้าของเราคือ \(x\) - จัดรูป “ลบสองหน้าหลัง” เพื่อหาว่าหลังคืออะไร
\(\Rightarrow\) ตัวหน้าของเราคือ \(x\) ดังนั้น สองหน้าหลังก็จะเป็น \(-\frac{5}{3}x = -2(x)(\frac{5}{6})\) แสดงว่าหลังคือ \(\frac{5}{6}\) - จัดรูป “บวกหลังกำลังสอง”
\(\Rightarrow\) หลังของเราคือ \(\frac{5}{6}\) เราจึงใส่ \((\frac{5}{6})^2\) เพิ่มเข้าไปเพื่อให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วต้องลบออกด้วย เพื่อให้ค่าเท่าเดิม
\(\begin{align*}-3(x^2 – \frac{5}{3}x) + 7 &= -3[x^2 – 2(x)(\frac{5}{6}) \bbox[yellow]{+(\frac{5}{6})^2 – (\frac{5}{6})^2}] + 7 \\
&= -3[x^2 – 2(x)(\frac{5}{6}) +(\frac{5}{6})^2] -(-3)(\frac{25}{36}) + 7 \\
&= -3[x^2 – 2(x)(\frac{5}{6}) +(\frac{5}{6})^2] + (\frac{75}{36}) + \frac{252}{36}\end{align*}\) - จัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ \((หน้า – หลัง)^2\)
\(\begin{align*}7 + 5x – 3x^2 &= -3(x – \frac{5}{6})^2 + \frac{109}{12} \\
&= \frac{109}{12} – 3(x – \frac{5}{6})^2 \end{align*}\)
วิธีที่ 2
- จัดรูปให้สัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) เป็นบวก และเป็น \(1\)
- นำ \(2\) หารสัมประสิทธิ์ของ \(x\) แล้วยกกำลังสอง และบวกเข้า-ลบออก
- ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ตัวอย่างที่ 6 จงเขียนพหุนาม \(x^2 – 10x + 24\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ
- ไม่ต้องจัดรูปใดๆ เพราะสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) เป็นบวก และเป็น \(1\) แล้ว
- นำ \(2\) หารสัมประสิทธิ์ของ \(x\) แล้วยกกำลังสอง และบวกเข้า-ลบออก
\(\begin{align*}x^2 – 10x + 24 &= [x^2 – 2(x)(5) \bbox[yellow]{+ 5^2 – 5^2}] + 24 \\
&= [x^2 – 2(x)(5) + 5^2] – 25 + 24 \\
&= [x^2 – 2(x)(5) + 5^2] – 1 \end{align*}\) - ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
\(x^2 – 10x + 24 = (x-5)^2 – 1 \)
ตัวอย่างที่ 7 จงเขียนพหุนาม \(4x^2 + 12x + 8\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ
- เราต้องทำสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) ให้เป็น \(1\) ก่อน
\(4x^2 + 12x + 8 = 4(x^2 + 3x) + 8 \) - นำ \(2\) หารสัมประสิทธิ์ของ \(x\) แล้วยกกำลังสอง และบวกเข้า-ลบออก
\(\begin{align*}4(x^2 + 3x) + 8 &= 4[x^2 + 2(x)(\frac{3}{2}) \bbox[yellow]{+ (\frac{3}{2})^2 – (\frac{3}{2})^2}] + 8 \\
&= 4[x^2 + 2(x)(\frac{3}{2}) + (\frac{3}{2})^2] – 4(\frac{9}{4}) + 8 \\
&= 4[x^2 + 2(x)(\frac{3}{2}) + (\frac{3}{2})^2] – 1
\end{align*}\) - ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
\(4x^2 + 12x + 8 = 4(x + \frac{3}{2})^2 – 1 \)
ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนพหุนาม \(8 – 2x – x^2\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ
- เราต้องทำสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) ให้เป็นบวก และเป็น \(1\) ก่อน
\(8 – 2x – x^2 = -(x^2 + 2x) + 8 \) - นำ \(2\) หารสัมประสิทธิ์ของ \(x\) แล้วยกกำลังสอง และบวกเข้า-ลบออก
\(\begin{align*}-(x^2 + 2x) + 8 &= -[x^2 + 2(x)(1) \bbox[yellow]{+ (1)^2 – (1)^2}] + 8 \\
&= -[x^2 + 2(x)(1) + (1)^2] + 1 + 8 \\
&= -[x^2 + 2(x)(1) + (1)^2] + 9
\end{align*}\) - ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
\(\begin{align*}8 – 2x – x^2 &= – (x + 1)^2 + 9 \\
&= 9 – (x + 1)^2 \end{align*}\)
ตัวอย่างที่ 9 จงเขียนพหุนาม \(11 – 20x – 4x^2\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ
- เราต้องทำสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) ให้เป็นบวก และเป็น \(1\) ก่อน
\(\begin{align*}11 – 20x – 4x^2 &= -(4x^2 + 20x) + 11 \\
&=-4(x^2 + 5x) + 11 \end{align*}\) - นำ \(2\) หารสัมประสิทธิ์ของ \(x\) แล้วยกกำลังสอง และบวกเข้า-ลบออก
\(\begin{align*} -4(x^2 + 5x) + 11 &= -4[x^2 + 2(x)(\frac{5}{2}) \bbox[yellow]{+ (\frac{5}{2})^2 – (\frac{5}{2})^2}] + 11 \\
&= -4[x^2 + 2(x)(\frac{5}{2}) + (\frac{5}{2})^2] – (-4)(\frac{25}{4}) + 11 \\
&= -4[x^2 + 2(x)(\frac{5}{2}) + (\frac{5}{2})^2] + 25 + 11 \\
&= 36 – 4[x^2 + 2(x)(\frac{5}{2}) + (\frac{5}{2})^2] \end{align*}\) - ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
\(\begin{align*} 11 – 20x – 4x^2 &= 36 – 4(x + \frac{5}{2})^2 \end{align*}\)
ตัวอย่างที่ 10 จงเขียนพหุนาม \(77 – 12x – 9x^2\) ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ
- เราต้องทำสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) ให้เป็นบวก และเป็น \(1\) ก่อน
\(\begin{align*} 77 – 12x – 9x^2 &= -(9x^2 + 12x) + 77 \\
&=-9(x^2 + \frac{12}{9}x) + 77 \\
&=-9(x^2 + \frac{4}{3}x) + 77 \end{align*}\) - นำ \(2\) หารสัมประสิทธิ์ของ \(x\) แล้วยกกำลังสอง และบวกเข้า-ลบออก
\(\begin{align*} -9(x^2 + \frac{4}{3}x) + 77 &= -9[x^2 + 2(x)(\frac{4}{6}) \bbox[yellow]{+ (\frac{4}{6})^2 – (\frac{4}{6})^2}] + 77 \\
&= -9[x^2 + 2(x)(\frac{2}{3}) + (\frac{2}{3})^2] -(-9)(\frac{4}{9}) + 77 \\
&= -9[x^2 + 2(x)(\frac{2}{3}) + (\frac{2}{3})^2] + 81 \\
&= 81 – 9[x^2 + 2(x)(\frac{2}{3}) + (\frac{2}{3})^2] \end{align*}\) - ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
\(\begin{align*} 77 – 12x – 9x^2 &= 81 – 9(x + \frac{2}{3})^2 \end{align*}\)
แบบฝึกหัด จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ให้มีพจน์ของกำลังสองสมบูรณ์
- \( x^2 + 2x\)
- \( x^2 – 8x + 25\)
- \( 45 + 4x – x^2\)
- \( 9x^2 – 6x – 8\)
- \( 16x^2 – 40x + 61\)
- \( 5 – 2x + x^2\)
- \( 19 – 36x – 4x^2\)
- \( 33 + 24x – 9x^2\)
- \( 24 + 14x – 49x^2\)
- \( 74 + 10x + x^2\)