การแยกตัวประกอบพหุนามอย่างง่าย

High school No Comments

การแยกตัวประกอบพหุนามที่ควรรู้จัก 4 แบบ

  1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
  2. การแยกตัวประกอบของผลต่างกําลังสอง
  3. การแยกตัวประกอบของผลต่างกําลังสาม
  4. การแยกตัวประกอบของผลบวกกําลังสาม

1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป \(ax^2 + bx + c\) เมื่อ \(a, b, c\) เป็นค่าคงตัว ที่ \(a \neq 0\) และ \(x\) เป็นตัวแปร โดยในที่นี้ จะขอเรียก \(ax^2\) ว่า พจน์หน้า, เรียก \(bx\) ว่า พจน์กลาง, และเรียก \(c\) ว่า พจน์หลัง

เราต้องการแยกตัวประกอบออกมาในรูป
\(\begin{align*} ax^2 + bx + c = (\Box x \pm \Box)(\Box x \pm \Box)
\end{align*}\)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ \(5x^2 – 11x + 2\)

วิธีทำ

  1. แยกพจน์หน้าเป็นสองพจน์
    \(\Rightarrow(5x \ldots)(x \ldots)\)
  2. แยกพจน์หลังออกเป็นสองจำนวนคูณกัน คือ \((-2)(-1)\) หรือ \((2)(1)\) นำไปใส่ในขั้นตอนที่ \(1\) สามารถใส่ได้ \(2\) แบบ คือ
    \(\begin{align*} &\Rightarrow(5x – 2)(x – 1) \\
    &\Rightarrow(5x – 1)(x – 2)
    \end{align*}\)
  3. หาพจน์กลางจากขั้นตอนที่ 2 โดยนำ \((ใกล้ \times ใกล้) + (ไกล \times ไกล)\) ถ้าได้ผลลัพธ์เป็น \(-11x\) แสดงว่าการแยกตัวประกอบนั้นถูกต้อง
    \(\begin{align*} &\Rightarrow (-2x) + (-5x) = -7x \\
    &\Rightarrow (-x) + (-10x) = -11x
    \end{align*}\)
    ดังนั้น \(5x^2 – 11x + 2 = (5x – 1)(x – 2)\)

แบบฝึกหัดที่ 1 จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้

  1. \( 12x^2 – 31x + 9\)
  2. \( 3x^2 – 4x – 4\)
  3. \( 8x^2 – 26x + 15\)
  4. \( 4x^2 + x – 3\)
  5. \( 6x^2 – 10x – 4\)
  6. \( 12x^2 – 56x + 9\)
ดูเฉลยคำตอบ
  1. \( 12x^2 – 31x + 9 = (3x – 1)(4x – 9)\)
  2. \( 3x^2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)\)
  3. \( 8x^2 – 26x + 15 = (2x – 5)(4x – 3)\)
  4. \( 4x^2 + x – 3 = (4x – 3)(x + 1)\)
  5. \( 6x^2 – 10x – 4 = 2(3x + 1)(x – 2)\)
  6. \( 12x^2 – 56x + 9 = (6x – 1)(2x – 9)\)

ถ้าสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) เป็นลบ ให้ดึงลบออกมาก่อน แล้วแยกตัวประกอบด้วยวิธีข้างต้น

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ \(8 + 10x – 3x^2\)

วิธีทำ

  1. ทำสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) ให้เป็นบวก
    \(\Rightarrow 8 + 10x – 3x^2 = -(3x^2 – 10x – 8)\)
  2. แยกพจน์หน้าเป็นสองพจน์
    \(\Rightarrow(3x \ldots)(x \ldots)\)
  3. แยกพจน์หลังออกเป็นสองจำนวนคูณกัน คือ \((-4)(2)\) หรือ \((4)(-2)\) นำไปใส่ในขั้นตอนที่ \(2\) สามารถใส่ได้ \(4\) แบบ คือ
    \(\begin{align*} &\Rightarrow(3x – 4)(x + 2) \\
    &\Rightarrow(3x + 4)(x – 2) \\
    &\Rightarrow(3x – 2)(x + 4) \\
    &\Rightarrow(3x + 2)(x – 4)
    \end{align*}\)
  4. หาพจน์กลางจากขั้นตอนที่ 2 โดยนำ \((ใกล้ \times ใกล้) + (ไกล \times ไกล)\) ถ้าได้ผลลัพธ์เป็น \(-10x\) แสดงว่าการแยกตัวประกอบนั้นถูกต้อง
    \(\begin{align*} &\Rightarrow (-4x) + (6x) = 2x \\
    &\Rightarrow (4x) + (-6x) = -2x \\
    &\Rightarrow (-2x) + (12x) = 10x \\
    &\Rightarrow (2x) + (-12x) = -10x
    \end{align*}\)
    ดังนั้น \(8 + 10x – 3x^2 = -(3x + 2)(x – 4) \)

แบบฝึกหัดที่ 2 จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้

  1. \( 6 + x – x^2\)
  2. \( 4 + 3x – x^2\)
  3. \( 4 – 11x – 3x^2\)
  4. \( 5 + 8x – 4x^2\)
  5. \( 12 – 16x – 3x^2\)
ดูเฉลยคำตอบ
  1. \( 6 + x – x^2 = -(x + 2)(x – 3)\)
  2. \( 4 + 3x – x^2 = -(x + 1)(x – 4)\)
  3. \( 4 – 11x – 3x^2 = -(x + 4)(3x – 1)\)
  4. \( 5 + 8x – 4x^2 = -(2x – 1)(2x – 5)\)
  5. \( 12 – 16x – 3x^2 = -(x + 6)(3x – 2)\)

2. การแยกตัวประกอบของผลต่างกําลังสอง

ผลต่างกำลังสอง
\(หน้า^2 – หลัง^2 = (หน้า – หลัง)(หน้า + หลัง) \)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยใช้ผลต่างกำลังสอง

  1. \(\begin{aligned}[t]x^2 – 25 &= (x)^2 – (5)^2 \\
    &= (x – 5)(x + 5) \end{aligned}\)
  2. \(\begin{aligned}[t]49x^2 – 36 &= (7x)^2 – (6)^2 \\
    &= (7x + 6)(7x – 6) \end{aligned}\)
  3. \(\begin{aligned}[t]121 – 4x^2 &= (11)^2 – (2x)^2 \\
    &= (11 – 2x)(11 + 2x) \end{aligned}\)
  4. \(\begin{aligned}[t](3x – 2)^2 – (x – 5)^2 &= [(3x – 2) – (x + 5)][(3x – 2) + (x + 5)] \\
    &= (4x + 3)(2x – 7) \end{aligned}\)

3. การแยกตัวประกอบของผลต่างกําลังสาม

ผลต่างกำลังสาม
\(หน้า^3 – หลัง^3 = (หน้า – หลัง)(หน้า^2 + หน้า \cdot หลัง + หลัง^2) \)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยใช้ผลต่างกำลังสาม

  1. \(\begin{aligned}[t] x^3 – 8 &= (x)^3 – (2)^3 \\
    &= (x – 2)(x^2 + 2x + 2^2) \\
    &= (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \end{aligned}\)
  2. \(\begin{aligned}[t] 3x^3 – \frac{3}{8} &= 3(x^3 – \frac{1}{8}) \\
    &= 3[x^3 – (\frac{1}{2})^3] \\
    &= 3(x – \frac{1}{2})(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}) \end{aligned}\)
  3. \(\begin{aligned}[t] 27 – 8x^3 &= (3)^3 – (2x)^3 \\
    &= (3 – 2x)[(3)^2 + (3)(2x) + (2x)^2] \\
    &= (3 – 2x)[4x^2 + 6x + 9] \end{aligned}\)
  4. \(\begin{aligned}[t] (x + 2)^3 – 1 &= (x + 2)^3 – (1)^3 \\
    &= [(x + 2) – 1][(x + 2)^2 + (x + 2)(1) + 1^2] \\
    &= (x + 1)[(x^2 + 4x + 4) + x + 2 + 1] \\
    &= (x + 1)(x^2 + 5x + 7) \end{aligned}\)

4. การแยกตัวประกอบของผลบวกกําลังสาม

ผลบวกกำลังสาม
\(หน้า^3 + หลัง^3 = (หน้า + หลัง)(หน้า^2 – หน้า \cdot หลัง + หลัง^2) \)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยใช้ผลบวกกำลังสาม

  1. \(\begin{aligned}[t] x^3 + 64 &= (x)^3 + (4)^3 \\
    &= (x + 4)(x^2 – 4x + 4^2) \\
    &= (x + 4)(x^2 – 4x + 16) \end{aligned}\)
  2. \(\begin{aligned}[t] 27x^3 + 125 &= (3x)^3 + (5)^3 \\
    &= (3x + 5)[(3x)^2 – (3x)(5) + 5^2] \\
    &= (3x + 5)[9x^2 – 15x + 25] \end{aligned}\)
  3. \(\begin{aligned}[t] (x – 1)^3 + 8 &= (x – 1)^3 + (2)^3 \\
    &= [(x – 1) + 2][(x – 1)^2 – (x – 1)(2) + 2^2] \\
    &= (x + 1)[x^2 – 2x + 1) – (2x – 2) + 4] \\
    &= (x + 1)(x^2 – 4x + 7) \end{aligned}\)
  4. \(\begin{aligned}[t] (2x – 3)^3 + (x + 5)^3 &= [(2x – 3)(x + 5)][(2x – 3)^2 – (2x – 3)(x + 5) + (x + 5)^2] \\
    &= (3x + 2)[(4x^2 – 12x + 9) – (2x^2 + 7x – 15) + (x^2 + 10x + 25)] \\
    &= (3x + 2)(3x^2 – 9x + 49) \end{aligned}\)

แบบฝึกหัดที่ 3 จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้

  1. \( 9x^2 – 25y^4\)
  2. \( x^2 + xy – 2y^2\)
  3. \( 2x^2 – 5xy + 2y^2\)
  4. \( x^3 – 8y^3\)
  5. \( x^4 – 16\)
  6. \( x^6 – 1\)
  7. \( x^6 – 64\)
  8. \( x^2 – 5x – 6\)
  9. \( x^2 – 81\)
  10. \( (x + 1)^3 + 64\)
  11. \( x^2 + 3xy – 4y^2\)
  12. \( (x +1)^4 – 16\)
  13. \( 64x^6 – 1\)
  14. \( 6x^2 + 5xy – 6y^2\)
  15. \( x^4 – 13x^2 + 36\)
  16. \( 343 – (3x – 7)^3\)
ดูเฉลยคำตอบ
  1. \(\begin{aligned}[t] 9x^2 – 25y^4 &= (3x)^2 – (5y^2)^2 \\
    &= (3x – 5y^2)(3x + 5y^2) \end{aligned}\)
  2. \( x^2 + xy – 2y^2 = (x + 2y)(x – y) \)
  3. \( 2x^2 – 5xy + 2y^2 = (2x – y)(x – 2y)\)
  4. \(\begin{aligned}[t] x^3 – 8y^3 &= (x)^3 – (2y)^3 \\
    &= (x – 2y)[(x)^2 + (x)(2y) + (2y)^2] \\
    &= (x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \end{aligned}\)
  5. \(\begin{aligned}[t] x^4 – 16 &= (x^2)^2 – (4)^2 \\
    &= (x^2 – 4)(x^2 + 4) \\
    &= (x – 2)(x + 2)(x^2 + 4) \end{aligned}\)
  6. \(\begin{aligned}[t] x^6 – 1 &= (x^2)^3 – (1)^3 \\
    &= (x^2 – 1)[(x^2)^2 + (x^2)(1) + (1)^2] \\
    &= (x + 1)(x – 1)(x^4 + x^2 + 1) \end{aligned}\)
  7. \(\begin{aligned}[t] x^6 – 64 &= (x^2)^3 + (4)^3 \\
    &= (x^2 + 4)[(x^2)^2 – (x^2)(4) + (4)^2] \\
    &= (x^2 + 4)(x^4 – 4x^2 + 16)\end{aligned}\)
  8. \( x^2 – 5x – 6 = (x – 6)(x + 1) \)
  9. \(\begin{aligned}[t] x^2 – 81 &= (x)^2 – (9)^2 \\
    &= (x – 9)(x + 9) \end{aligned}\)
  10. \(\begin{aligned}[t] (x + 1)^3 + 64 & = (x + 1)^3 + (4)^3 \\
    &= (x + 1 – 4)[(x + 1)^2 – (x + 1)(4) + (4)^2] \\
    &= (x – 3)(x^2 + 2x + 1 – 4x – 4 + 16) \\
    &= (x – 3)(x^2 – 2x + 13) \end{aligned} \)
  11. \( x^2 + 3xy – 4y^2 = (x + 4y)(x – y) \)
  12. \(\begin{aligned}[t] (x + 1)^4 – 16 &= [(x + 1)^2]^2 – (4)^2 \\
    &= [(x + 1)^2 – 4][(x + 1)^2 + 4] \\
    &= (x^2 + 2x + 1 – 4)(x^2 + 2x + 1 + 4) \\
    &= (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x + 5) \\
    &= (x – 1)(x + 3)(x^2 + 2x + 5) \end{aligned}\)
  13. \(\begin{aligned}[t] 64x^6 – 1 &= (4x^2)^3 – (1)^3 \\
    &= (4x^2 – 1)[(4x^2)^2 + (4x^2)(1) + (1)^2] \\
    &= [(2x)^2 – (1)^2](16x^4 + 4x^2 + 1) \\
    &= (2x – 1)(2x + 1)(16x^4 + 4x^2 + 1) \end{aligned}\)
  14. \( 6x^2 + 5xy – 6y^2 = (3x – 2y)(2x + 3y)\)
  15. \(\begin{aligned}[t] x^4 – 13x^2 + 36 &= (x^2 – 9)(x^2 – 4) \\
    &= [(x)^2 – (3)^2][(x)^2 – (2)^2] \\
    &= (x – 3)(x + 3)(x – 2)(x + 2) \end{aligned}\)
  16. \(\begin{aligned}[t] 343 – (3x – 7)^3 &= (7)^3 – (3x – 7)^3 \\
    &= (7 – (3x – 7)[(7)^2 + (7)(3x – 7) + (3x – 7)^2] \\
    &= (14 – 3x)[49 + 21x – 49 + (9x^2) – 42x + 49] \\
    &= (14 – 3x)(9x^2 – 21x + 49)\end{aligned}\)

Related Posts

Leave a Reply

Thumbnails managed by ThumbPress