การแก้อสมการ คือ การหาค่าของตัวแปรทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้ ซึ่งสิ่งที่ต้องรู้คือ
- การบวก-ลบด้วยค่าคงที่ใดๆ ไม่ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ
- การคูณ-หารด้วยจำนวนบวก ไม่ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ แต่ถ้าคูณ-หารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ เช่น
- \(\begin{aligned}[t] \frac{x + 1}{3} \leq 6 \end{aligned} \) สามารถจัดรูปได้เป็น \(\begin{aligned}[t] x + 1 \leq 18 \end{aligned} \)
- \(\begin{aligned}[t] -2x \leq 8 \end{aligned} \) สามารถจัดรูปได้เป็น \(\begin{aligned}[t] x \geq -4 \end{aligned} \)
อสมการพหุนามกำลังสูงกว่า 1 มีหลักการแก้อสมการคร่าวๆดังนี้
- จัดอสมการทางขวามือให้เป็น \(0\)
- ถ้าเป็นเศษส่วน จัดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่ายเพียงเศษส่วนเดียว
- ทำสัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุดทั้งเศษและส่วนให้เป็นจำนวนบวก
- แยกตัวประกอบ (ถ้าแยกได้)
- เขียนเส้นจำนวน แล้วใส่เครื่องหมาย \(+, -, +, \ldots\) สลับกันจากขวาไปซ้าย
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ \(12 – x – x^2 > 0\)
วิธีทำ
- คูณอสมการด้วย \(-1\)
เราจะได้ \(x^2 + x – 12 \lt 0\) - แยกตัวประกอบ
เราจะได้ \((x + 4)(x – 3) \lt 0\)
ดังนั้น ค่าของ \(x\) จะอยู่ในช่วง \((-4,3)\)
ตัวอย่างที่ 2 จงแก้อสมการ \(2x^2 – 3 \geq x\)
วิธีทำ
- จัดให้ขวามือเป็น \( 0\)
เราจะได้ \(2x^2 – x – 3 \geq 0\) - แยกตัวประกอบ
เราจะได้ \((2x – 3)(x + 1) \geq 0\)
ดังนั้น ค่าของ \(x\) จะอยู่ในช่วง \((-\infty,-1) \cup (\frac{3}{2}, \infty)\)
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้อสมการ \(\frac{x + 2}{1 – 2x} \geq 0\)
วิธีทำ
- คูณลบที่พจน์ส่วน
เราจะได้ \(\frac{x + 2}{2x – 1} \leq 0\) - แยกตัวประกอบแล้ว
ดังนั้น ค่าของ \(x\) จะอยู่ในช่วง \([-2, \frac{1}{2})\)
** อสมการมีเครื่องหมายเท่ากับ แต่ที่ \(x = \frac{1}{2}\) ตอบเป็นช่วงเปิด เพราะว่าส่วนห้ามเท่ากับ \(0\)