ระบบเลขฐาน

ระบบเลขฐานประกอบด้วย เลขฐาน 2, เลขฐาน 8, เลขฐาน 10, และ เลขฐาน 16

1. ระบบเลขฐาน 2 (Binary Number System) ประกอบด้วยเลข 2 ตัวคือ 0 และ 1 เท่านั้น
2. ระบบเลขฐาน 8 (Octal Number System) ประกอบด้วยเลข 8 ตัว ซึ่งประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
3. ระบบเลขฐาน 10 (Decimal Number System) ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ซึ่งเป็นระบบเลขฐานที่คนทั่วไปสามารถเข้าใจได้เป็นอย่างดี เพราะเป็นตัวเลขที่ใช้ในชีวิตประจำวัน
4. ระบบเลขฐาน 16 (Hexadecimal Number System) ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว และตัวอักษรแทนตัวเลขอีก 6 ตัว คือ เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และตัวอักษรภาษาอังกฤษแทน 10 ถึง 15 ได้แก่ A, B, C, D, E, F

เราจะเขียนเลขฐานกำกับไว้ที่ท้ายของเลขนั้น เพื่อให้ทราบว่าเลขนั้นอยู่ในระบบเลขฐานใด เช่น

• \(10_2\) หมายถึง \(10\) ในระบบเลขฐาน \(2\)
• \(16_{10}\) หมายถึง \(16\) ในระบบเลขฐาน \(10\)
• \(4521_8\) หมายถึง \(4521\) ในระบบเลขฐาน \(8\)
• \(A10_{16}\) หมายถึง \(A10\) ในระบบเลขฐาน \(16\)

การแปลงเลขฐานที่เป็นจำนวนเต็ม

การแปลงเลขฐานที่เป็นจำนวนเต็ม มี 2 แบบ คือ

1. การแปลงเลขจากเลขฐานอื่นๆ เป็น เลขฐาน 10

   ตัวอย่าง การแปลง \(11101_2\) ให้เป็นเลขฐาน 10

   1. กระจายเลขฐานที่โจทย์กำหนด
      \(11101_2 = 1 \qquad 1 \qquad 1 \qquad 0 \qquad 1\)
   2. เขียนค่าประจำหลักในแต่ละตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฏอยู่ ให้ตรงกับเลขฐานที่โจทย์กำหนดแต่ละตัว โดยนำเลขฐานที่โจทย์กำหนด มายกกำลังเริ่มจาก 0, 1, 2, 3,… โดยเริ่มจากทางขวาสุด
      \(\begin{align*}
      11101_2 &= 1 \qquad 1 \qquad 1 \qquad 0 \qquad 1 \;\; \bbox[yellow]{2^0} \\
      &= 1 \qquad 1 \qquad 1 \qquad 0 \;\; \bbox[yellow]{2^1} \qquad 1 \;\; 2^0 \\
      &= 1 \qquad 1 \qquad 1 \;\; \bbox[yellow]{2^2} \qquad 0 \;\; 2^1 \qquad 1 \;\; 2^0 \\
      &= 1 \qquad 1 \;\; \bbox[yellow]{2^3} \qquad 1 \;\; 2^2 \qquad 0 \;\; 2^1 \qquad 1 \;\; 2^0 \\
      &= 1 \;\; \bbox[yellow]{2^4} \qquad 1 \;\; 2^3 \qquad 1 \;\; 2^2 \qquad 0 \;\; 2^1 \qquad 1 \;\; 2^0
      \end{align*}
      \)
   3. นำเลขที่โจทย์กำหนดมาคูณกับค่าประจำหลักในแต่ละตำแหน่ง
      \(\begin{align*}
      11101_2 &= (1 \times 2^4) \qquad (1 \times 2^3) \qquad (1 \times 2^2) \qquad (0 \times 2^1) \qquad (1 \times 2^0) \\
      &= 16 \qquad 8 \qquad 4 \qquad 0 \qquad 1
      \end{align*}
      \)
   4. นำผลคูณที่ได้มาบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขฐานสิบ
      \(\begin{align*}
      11101_2 &= 16 + 8 + 4 + 0 + 1 \\
      &= 29_{10}
      \end{align*}
      \)

   ตัวอย่าง การแปลง \(4251_8\) ให้เป็นเลขฐาน 10

   1. กระจายเลขฐานที่โจทย์กำหนด
      \(4251_8 = 4 \qquad 2 \qquad 5 \qquad 1\)
   2. เขียนค่าประจำหลักในแต่ละตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฏอยู่ ให้ตรงกับเลขฐานที่โจทย์กำหนดแต่ละตัว
      \(4251_8 = 4 \;\; \bbox[yellow]{8^3} \qquad 2 \;\; \bbox[yellow]{8^2} \qquad 5 \;\; \bbox[yellow]{8^1} \qquad 1 \;\; \bbox[yellow]{8^0}\)
   3. นำเลขที่โจทย์กำหนดมาคูณกับค่าประจำหลักในแต่ละตำแหน่ง
      \(\begin{align*}
      4251_8 &= (4 \times 8^3) \qquad (2 \times 8^2) \qquad (5 \times 8^1) \qquad (1 \times 8^0) \\
      &= 4 \times 512 \qquad 2 \times 64 \qquad 5 \times 8 \qquad 1 \times 1 \\
      &= 2048 \qquad 128 \qquad 40 \qquad 1
      \end{align*}
      \)
   4. นำผลคูณที่ได้มาบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขฐานสิบ
      \(\begin{align*}
      4251_8 &= 2048 + 128 + 40 + 1 \\
      &= 2217_{10}
      \end{align*}
      \)

   ตัวอย่าง การแปลง \(AF_{16}\) ให้เป็นเลขฐาน 10

   1. กระจายเลขฐานที่โจทย์กำหนด
      \(AF_{16} = A \qquad F \)
   2. เขียนค่าประจำหลักในแต่ละตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฏอยู่ ให้ตรงกับเลขฐานที่โจทย์กำหนดแต่ละตัว
      \(\begin{align*}
      AF_{16} &= A \;\; \bbox[yellow]{16^1} \qquad F \;\; \bbox[yellow]{16^0} \\
      &= 10 \;\; 16^1 \qquad 15 \;\; 16^0
      \end{align*}
      \)
   3. นำเลขที่โจทย์กำหนดมาคูณกับค่าประจำหลักในแต่ละตำแหน่ง
      \(\begin{align*}
      AF_{16} &= (10 \times 16) \qquad (15 \times 16^0) \\
      &= 160 \qquad 15
      \end{align*}
      \)
   4. นำผลคูณที่ได้มาบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขฐานสิบ
      \(\begin{align*}
      11101_2 &= 160 + 15 \\
      &= 175_{10}
      \end{align*}
      \)
2. การแปลงเลขในฐาน 10 เป็น เลขฐานอื่นๆ

   ตัวอย่าง การแปลง \(29_{10}\) ให้เป็นเลขฐาน 2

   1. นำเลขฐานที่โจทย์กำหนดตั้ง แล้วหารด้วยเลขฐานที่ต้องการแปลง โดยหารไปเรื่อยๆจนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร
      \( \begin{array}{|ll}
      \llap{2~~~~} 29 \\ \hline
      \llap{2~~~~} 14 & \text{เศษ} \;\; 1 \\ \hline
      \llap{2~~~~} 7 & \text{เศษ} \;\; 0 \\ \hline
      \llap{2~~~~} 3 & \text{เศษ} \;\; 1 \\ \hline
      1 & \text{เศษ} \;\; 1 \\
      \end{array}
      \)
   2. นำผลลัพธ์ (เศษ) มาเรียงเป็นคำตอบ โดยตัวบนสุดจะเป็นหลักหน่วย, ตัวถัดไปจะเป็นหลักสิบ, ตัวถัดไปจะเป็นหลักร้อย, …
      \( \begin{array}{|ll}
      \llap{2~~~~} 29 \\ \hline
      \llap{2~~~~} 14 & \text{เศษ} \;\; \bbox[yellow]{1} \to \text{หลักหน่วย} \\ \hline
      \llap{2~~~~} 7 & \text{เศษ} \;\; \bbox[yellow]{0} \to \text{หลักสิบ} \\ \hline
      \llap{2~~~~} 3 & \text{เศษ} \;\; \bbox[yellow]{1} \to \text{หลักร้อย} \\ \hline
      \bbox[yellow]{1} & \text{เศษ} \;\; \bbox[yellow]{1} \to \ldots \\
      \end{array}
      \\
      \therefore 29_{10} = 11101_{2}
      \)

   ตัวอย่าง การแปลง \(666_{10}\) ให้เป็นเลขฐาน 16

   1. นำเลขฐานที่โจทย์กำหนดตั้ง แล้วหารด้วยเลขฐานที่ต้องการแปลง โดยหารไปเรื่อยๆจนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร
      \( \begin{array}{|ll}
      \llap{16~~~~} 666 \\ \hline
      \llap{16~~~~} 41 & \text{เศษ} \;\; 10 \\ \hline
      2 & \text{เศษ} \;\; 9 \\
      \end{array}
      \)
   2. นำผลลัพธ์ (เศษ) มาเรียงเป็นคำตอบ
      \( \begin{array}{|ll}
      \llap{16~~~~} 666 \\ \hline
      \llap{16~~~~} 41 & \text{เศษ} \;\; \bbox[yellow]{10} \\ \hline
      \bbox[yellow]{2} & \text{เศษ} \;\; \bbox[yellow]{9} \\
      \end{array}
      \\[2ex] \text{และ } 10 \text{ ในเลขฐาน } 16 \text{ คือ } A \\
      \therefore 666_{10} = 29A_{16}
      \)