ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

1. ประพจน์

ประพจน์ คือ  ประโยคที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น  และประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ เช่น

1. แมวมี 4 ขา → เป็นประพจน์ เพราะบอกได้ว่าเป็นจริง
2. 3 + 6 = 9 → เป็นประพจน์ เพราะบอกได้ว่าเป็นจริง
3. 15 เป็นจำนวนเต็ม → เป็นประพจน์ เพราะบอกได้ว่าเป็นจริง
4. เชียงรายเป็นประเทศ → เป็นประพจน์ เพราะบอกได้ว่าเป็นเท็จ
5. 12 – 8 = 20 → เป็นประพจน์ เพราะบอกได้ว่าเป็นเท็จ

ประโยคที่ไม่ใช่ประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ เช่น ประโยคคำถาม คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน สุภาษิต รวมถึงประโยคที่มีตัวแปร ซึ่งไม่สามารถบอกว่าเป็นจริงหรือเท็จ เรียกว่าประโยคเปิด เช่น

• คุณมีเงินในกระเป๋าเท่าไหร่ → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถาม
• พรุ่งนี้ครูให้ทำรายงาน → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำสั่ง
• กรุณาปิดประตูเบาๆ → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นคำขอร้อง
• พระเจ้าช่วย → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นคำอุทาน
• ไก่เห็นตีนงู งูเห็นนมไก่ → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นสุภาษิต
• 20 – x = 5 → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นมีตัวแปร (ถ้า x เป็น 15 จะเป็นจริง แต่ถ้า x เป็น 10 จะเป็นเท็จ)
• เขาเป็นนักกีฬา → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคเปิด (ไม่รู้ว่าเขาเป็นใคร ดังนั้น เราไม่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จ)

จงพิจารณาว่า ข้อใดต่อไปนี้เป็นประพจน์

1. เลข 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
2. ปิดหน้าต่างให้หน่อย
3. ช่วยกันรักษาความสะอาด
4. โปรดเมตตาด้วยเถิด
5. เชียงรายเป็นประเทศ
6. หนึ่งวัน มี 30 ชั่วโมง
7. 1/2 มีค่าเท่ากับ 0.5
8. เขาเป็นคนดี
9. 0.75 เป็นเศษส่วน
10. 2x – 4y = 20
11. จงยืนขึ้น
12. ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์

2. การเชื่อมประพจน์

กำหนดให้ \(P\) และ \(Q\) เป็นประพจน์ เมื่อนำทั้ง 2 ประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราจะได้ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ โดยตัวเชื่อมที่ใช้มี 5 ตัว คือ

1. ตัวเชื่อมประพจน์ “และ” (Conjunction) ใช้สัญลักษณ์ \(\land\)
   \(P \land Q\) จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ \(P\) และ \(Q\) มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ
2. ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” (Disjunction) ใช้สัญลักษณ์ \(\lor\)
   \(P \lor Q\) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ \(P\) และ \(Q\) มีค่าความจริงเป็นเท็จเท่านั้น นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง
3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” (Conditional) ใช้สัญลักษณ์ \(\to\)
   \(P \to Q\) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ \(P\) เป็นจริง และ \(Q\) เป็นเท็จ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง
4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์ \(\leftrightarrow\)
   \(P \leftrightarrow Q\) จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ \(P\) และ \(Q\) มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ \(P\) และ \(Q\) มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
5. นิเสธของประพจน์ “ไม่” (Negation) ใช้สัญลักษณ์ \(\sim\) ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ เขียนอยู่ในรูป \({\sim}P\) เช่น
   ถ้า \(P\) มีค่าความจริงเป็นจริง \({\sim}P\) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ
   ถ้า \(P\) มีค่าความจริงเป็นเท็จ \({\sim}P\) จะมีค่าความจริงเป็นจริง

3. ตารางค่าความจริง

4. สมมูล

สมมูล เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \(\equiv\) แปลว่า “มีค่าความจริงเหมือนกัน”
 ประพจน์สองประพจน์ใด จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี  การตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ ทำได้ 2 วิธี คือ

1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง
    ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
   1. \({\sim}P \to Q\) กับ \( {\sim}Q \to P\)

      \(P\)	\(Q\)	\({\sim}P\)	\({\sim}Q\)	\({\sim}P \to Q\)	\({\sim}Q \to P\)
      \(T\)	\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(\color{blue}{T}\)	\(\color{blue}{T}\)
      \(T\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(\color{blue}{T}\)	\(\color{blue}{T}\)
      \(F\)	\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(\color{blue}{T}\)	\(\color{blue}{T}\)
      \(F\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(\color{blue}{F}\)	\(\color{blue}{F}\)

      \(\therefore\) จากตาราง จะเห็นได้ว่าประพจน์ \({\sim}P \to Q\) สมมูลกับประพจน์ \( {\sim}Q \to P\) เพราะมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \({\sim}P \to Q \equiv {\sim}Q \to P \)
   2. \(P \to Q\) กับ \( {\sim}P \land Q\)

      \(P\)	\(Q\)	\({\sim}P\)	\(P \to Q\)	\({\sim}P \land Q\)
      \(T\)	\(T\)	\(F\)	\(\color{blue}{T}\)	\(\color{blue}{F}\)
      \(T\)	\(F\)	\(F\)	\(\color{blue}{F}\)	\(\color{blue}{F}\)
      \(F\)	\(T\)	\(T\)	\(\color{blue}{T}\)	\(\color{blue}{T}\)
      \(F\)	\(F\)	\(T\)	\(\color{blue}{T}\)	\(\color{blue}{F}\)

      \(\therefore\) จากตาราง จะเห็นได้ว่าประพจน์ \(P \to Q\) ไม่สมมูลกับประพจน์ \( {\sim}P \land Q\) เพราะมีค่าความจริงในบางกรณีต่างกัน
   ข้อควรรู้

   ถ้าประพจน์สองประพจน์มีตารางค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เราจะสรุปได้ว่าทั้งสองประพจน์นั้นสมมูลกัน
   ถ้าประพจน์สองประพจน์มีตารางค่าความจริงตรงกันข้ามกันทุกกรณี เราจะสรุปได้ว่าทั้งสองประพจน์นั้นเป็นคู่นิเสธกัน
2. ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน โดยรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่สำคัญ เช่น
   1. \(P \land Q \equiv Q \land P\)
   2. \(P \lor Q \equiv Q \lor P\)
   3. \((P \land Q) \land R \equiv P \land (Q \land R)\)
   4. \((P \lor Q) \lor R \equiv P \lor (Q \lor R)\)
   5. \(P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)\)
   6. \(P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)\)
   7. \(P \to Q \equiv {\sim}P \lor Q\)
   8. \(P \to Q \equiv {\sim}Q \to {\sim}P\)
   9. \(P \leftrightarrow Q \equiv (P \to Q) \land (Q \to P)\)
    ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
   1. \(P \lor Q\) กับ \( {\sim}Q \to P\)
      วิธีทำ

      • จาก \( \quad P \to Q \equiv {\sim}P \lor Q\)
      • \(\begin{align*}
        \quad {\sim}Q \to P &\equiv {\sim}({\sim}Q) \lor P \\
        &\equiv Q \lor P \\
        &\equiv P \lor Q \\
        \end{align*}
        \)
      • ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่สมมูลกัน
   2. \(P \leftrightarrow Q\) กับ \(({\sim}P \lor Q) \land (P \lor {\sim}Q)\)
      วิธีทำ

      • จาก \( \quad P \leftrightarrow Q \equiv (P \to Q) \land (Q \to P)\;\) และ \(\;P \to Q \equiv {\sim}P \lor Q\)
      • \(\begin{align*}
        \quad P \leftrightarrow Q &\equiv (P \to Q) \land (Q \to P) \\
        &\equiv ({\sim}P \lor Q) \land ({\sim}Q \lor P)\\
        &\equiv ({\sim}P \lor Q) \land (P \lor {\sim}Q)\\
        \end{align*}
        \)
      • ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่สมมูลกัน
   3. \(P \to (Q \to R)\) กับ \((P \land Q) \to R\)
      วิธีทำ

      • \(\begin{align*}
        \quad P \to (Q \to R) &\equiv {\sim}P \lor (Q \to R) \\
        &\equiv {\sim}P \lor ({\sim}Q \lor R) \\
        &\equiv {\sim}P \lor {\sim}Q \lor R \\ \\
        \quad (P \land Q) \to R &\equiv {\sim}(P \land Q) \lor R \\
        &\equiv ({\sim}P \lor {\sim}Q) \lor R \\
        &\equiv {\sim}P \lor {\sim}Q \lor R
        \end{align*}
        \)
      • ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่สมมูลกัน
   4. \({\sim}P \land (Q \lor P)\) กับ \({\sim}(Q \to P)\)
      วิธีทำ

      • \(\begin{align*}
        \quad {\sim}P \land (Q \lor P) &\equiv ({\sim}P \land Q) \lor ({\sim}P \land P) \\
        &\equiv ({\sim}P \land Q) \lor F \\
        &\equiv {\sim}P \land Q \\ \\
        \quad {\sim}(Q \to P) &\equiv {\sim}({\sim}Q \lor P)) \\
        &\equiv Q \land {\sim}P \\
        &\equiv {\sim}P \land Q
        \end{align*}
        \)
      • ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่สมมูลกัน
   5. \(P \to (Q \to R)\) กับ \((P \to Q) \to R\)
      วิธีทำ

      • \(\begin{align*}
        \quad P \to (Q \to R) &\equiv {\sim}P \lor (Q \to R) \\
        &\equiv {\sim}P \lor ({\sim}Q \lor R) \\
        &\equiv {\sim}P \lor {\sim}Q \lor R
        \end{align*}
        \)

        ประพจน์นี้จะเป็นเท็จ เมื่อ \(P\) เป็นจริง \(Q\) เป็นจริง และ \(R\) เป็นเท็จเท่านั้น

        \(\begin{align*}
        \quad (P \to Q) \to R &\equiv ({\sim}P \lor Q) \to R) \\
        &\equiv {\sim}({\sim}P \lor Q) \lor R) \\
        &\equiv (P \land {\sim}Q) \lor R
        \end{align*}
        \)

        ประพจน์นี้เป็นเท็จได้หลายกรณี เช่น \(P\) เป็นเท็จ \(Q\) เป็นเท็จ และ \(R\) เป็นเท็จ

      • ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่ไม่สมมูลกัน

4. สัจนิรันดร์ (Tautology)

ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ หมายถึง  ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี  

การตรวจสอบสัจนิรันดร์ทำได้ 2 วิธี

1. การตรวจสอบโดยใช้ตารางแสดงค่าความจริง
    ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่าประพจน์ \((P \to Q) \leftrightarrow ({\sim}Q \to {\sim}P)\) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

   \(P\)	\(Q\)	\(P \to Q\)	\({\sim}Q\)	\({\sim}P\)	\({\sim}Q \to {\sim}P\)	\((P \to Q) \leftrightarrow ({\sim}Q \to {\sim}P)\)
   \(T\)	\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(\color{blue}{T}\)
   \(T\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(\color{blue}{T}\)
   \(F\)	\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(\color{blue}{T}\)
   \(F\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(\color{blue}{T}\)

   จากตาราง จะเห็นได้ว่าทุกกรณีที่เป็นไปได้ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
   \(\therefore\) ประพจน์ \((P \to Q) \leftrightarrow ({\sim}Q \to {\sim}P)\) เป็นสัจนิรันดร์

2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง
   สมมติให้ประพจน์ที่ต้องการตรวจสอบสัจนิรันดร์ เป็นเท็จ และหาค่าความจริงของประพจน์ย่อย
   ถ้าค่าความจริงของประพจน์ย่อยขัดแย้งกันในทุกกรณี จะสรุปว่าเป็นสัจนิรันดร์
   แต่ถ้าค่าความจริงของประพจน์ย่อยไม่ขัดแย้งกัน (อย่างน้อย 1 กรณี) หรือหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยไม่ได้ จะสรุปว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์
    ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่าประพจน์ \(P \to (P \lor Q)\) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
   วิธีทำ

   1. สมมติให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ
      
   2. จากตัวเชื่อมประพจน์ \(\to\) เราจะได้ว่าประพจน์ด้านหน้า \((P)\) ต้องมีค่าเป็นจริง และ ประพจน์ด้านหลัง \((P \lor Q)\) ต้องมีค่าเป็นเท็จเท่านั้น
      
   3. เมื่อพิจารณาประพจน์ด้านหลัง \((P \lor Q)\) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ \(P\) และ \(Q\) เป็นเท็จ แต่จากประพจน์ด้านหน้า \(P\) มีค่าความจริงเป็นจริง ทำให้ค่าความจริงของประพจน์ \(P\) ขัดแย้งกัน
      
      \(\therefore\) เราจึงสรุปได้ว่าประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์
    ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่าประพจน์ \((P \land Q) \leftrightarrow (P \lor Q)\) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
   วิธีทำ

   1. สมมติให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ
      
   2. จากตัวเชื่อมประพจน์ \(\leftrightarrow\) จะเป็นเท็จได้สองกรณี คือ ประพจน์ด้านหน้าเป็นจริงและประพจน์ด้านหลังเป็นเท็จ หรือ ประพจน์ด้านหน้าเป็นเท็จและประพจน์ด้านหลังเป็นจริง
      
   3. เมื่อพิจารณากรณีแรก เราพบข้อขัดแย้ง ทำให้เรายังไม่สามารถสรุปว่าข้อนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ เพราะเราต้องไปพิจารณากรณีที่สองด้วย
      
   4. เมื่อพิจารณากรณีที่สอง เราสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณีย่อยคือ
      
      • \(P\) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ \(Q\) มีค่าความจริงเป็นจริง
      • \(P\) มีค่าความจริงเป็นจริง และ \(Q\) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

      ทั้ง 2 กรณีย่อยไม่เกิดข้อแย้ง แสดงว่าประพจน์ที่โจทย์กำหนดสามารถมีค่าความจริงเป็นเท็จได้
      
      \(\therefore\) เราจึงสรุปได้ว่าประพจน์นี้เป็นไม่เป็นสัจนิรันดร์