ทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำเราสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ง่าย เช่น
\(\begin{align*}\qquad 0.5 &= \frac{5}{10} \\[6pt] \qquad 0.27 &= \frac{27}{100} \\[6pt] \qquad 0.391 &= \frac{391}{1{,}000}
\end{align*}\)
ทศนิยมซํ้าที่ไม่ใช่ศูนย์ เราจะเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงเขียน \(0.\dot{4}\dot{7}\) ให้อยู่ในรูปเศษส่วนวิธีทำ
ตัวอย่าง จงเขียน \(0.7\dot{2}\dot{5}\) ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
- ให้ \(\;\;N = 0.\dot{4}\dot{7}\)
- ดังนั้น \(\;\;N = 0.474747\ldots \qquad \tag{1}\)
- คูณทั้ง 2 ข้างของสมการ \((1)\) ด้วย \(100\)
- \(\begin{align*}
\quad 100N &= (0.474747\ldots) \times 100 \\
\quad 100N &= 47.474747\ldots \qquad \tag{2}
\end{align*}\) - นำสมการ \((2)\) ลบด้วยสมการ \((1)\)
- \(\begin{align*}
\quad 100N \; – N &= (47.474747\ldots) \; – (0.474747\ldots) \\[8pt] \quad 99N &= 47.000\ldots \\[8pt] \quad N &= \frac{47}{99}
\end{align*}\)
วิธีทำ
จากวิธีข้างต้น เราสามารถนำมาสรุปเป็นหลักการง่ายๆในการแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ด้งนี้
- ให้ \(\;\;N = 0.7\dot{2}\dot{5}\)
- ดังนั้น \(\;\;N = 0.7252525\ldots \qquad \tag{1}\)
- คูณทั้ง 2 ข้างของสมการ \((1)\) ด้วย \(1000\)
- \(\begin{align*}
\quad 1000N &= (0.7252525\ldots) \times 1000 \\
\quad 1000N &= 725.252525\ldots \qquad \tag{2}
\end{align*}\) - คูณทั้ง 2 ข้างของสมการ \((1)\) ด้วย \(10\)
- \(\begin{align*}
\quad 10N &= 0.7252525\ldots \times 100 \\
\quad 10N &= 7.252525\ldots \tag{3}
\end{align*}\) - นำสมการ \((2)\) ลบด้วยสมการ \((3)\)
- \(\begin{align*}
\quad 1000N \; – 10N &= (725.252525\ldots) \; – (7.252525\ldots) \\[8pt] \quad 990N &= 718.000\ldots \\[8pt] \quad N &= \frac{718}{990} \\[8pt] \quad &= \frac{359}{495}
\end{align*}\)
- ถ้าเป็นทศนิยมที่ซ้ำทุกตำแหน่ง เช่น \(0.\dot{8}, 0.\dot{2}\dot{6}, 0.\dot{5}1\dot{8}\) เศษส่วนที่เป็นคำตอบจะมีตัวส่วนเป็นเลข 9 เท่ากับตำแหน่งของการซ้ำของทศนิยม และตัวเศษจะเป็นตัวเลขที่เป็นทศนิยม เช่น
- \(0.\dot{8} = \frac{8}{9}\)
- \(0.\dot{2}\dot{6} = \frac{26}{99}\)
- \(0.\dot{5}1\dot{8} = \frac{518}{999}\)
- ถ้าเป็นทศนิยมซ้ำไม่ทุกตำแหน่ง เช่น \(0.5\dot{6}, 0.0\dot{7}\dot{9}, 0.10\dot{3}, 0.444\dot{5}\) เศษส่วนที่เป็นคำตอบจะมีตัวส่วนเป็นเลข 9 เท่ากับตำแหน่งของการซ้ำของทศนิยม แล้วตามด้วย 0 เท่ากับจำนวนของตัวเลขไม่ซ้ำ และตัวเศษเท่ากับจำนวนหลังจุดทศนิยมลบด้วยจำนวนที่ไม่ซํ้า เช่น
- \(0.5\dot{6} = \frac{56 \; – \; 5}{90}\)
- \(0.0\dot{7}\dot{9} = \frac{79 \; – \; 0}{990} = \frac{79}{990}\)
- \(0.10\dot{3} = \frac{103 \; – \; 10}{900} = \frac{93}{900}\)
- \(0.444\dot{5} = \frac{4445 \; – \; 444}{9000} = \frac{4001}{9000}\)
แบบฝึกหัด: จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้เป็นเศษส่วน
- \(0.415\)
- \(3.4\dot{5}\)
- \(12.4\dot{3}\)
- \(364.676767\ldots\)
- \(101.101101101\ldots\)