เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป

ก่อนอื่น เราจะต้องเข้าใจความหมายของคำว่าสมาชิกนำ และเมทริกซ์รูปแบบขั้นบันได ก่อน

สมาชิกนำ (Leading coefficient)

ในแต่ละแถวของเมทริกซ์ เราจะเรียกสมาชิกตัวแรกที่อยู่ทางซ้ายสุด และไม่ใช่ศูนย์ว่า สมาชิกนำ

 ตัวอย่าง  ให้ A เป็นเมทริกซ์ดังข้างล่าง สมาชิกนำในแต่ละแถวคือ ที่ไฮไลท์สีเหลือง คือ 2, 7, -3, และ 5

\( \begin{align*}
\qquad A &=
\begin{bmatrix}
\bbox[yellow]{2} & 3 & 4 & 5\\
0 & \bbox[yellow]{7} & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{-3} \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\bbox[yellow]{5} & 0 & -3 & 2
\end{bmatrix} \\ \\ \\
\end{align*}
\)

เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได (Row echelon form matrix)

เราจะเรียกเมทริกซ์ A ว่ามีรูปแบบขั้นบันได ถ้า A มีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

1. ถ้ามีแถวใดที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ทั้งหมด แล้วแถวที่อยู่ต่ำกว่าแถวนั้นๆต้องเป็นศูนย์ทั้งหมดเช่นกัน
2. สำหรับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด สมาชิกนำของแถวที่อยู่ต่ำกว่า จะต้องอยู่ในหลักทางขวามือของสมาชิกนำของแถวที่สูงกว่าเสมอ
3. ถ้าสมาชิกนำของแถวอยู่ในหลักใด แล้วสมาชิกในหลักนั้นที่อยู่ต่ำกว่าสมาชิกนำต้องเป็นศูนย์

 ตัวอย่าง 

1. A เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได
   
   \( \begin{equation}
   \qquad A =
   \begin{bmatrix}
   \bbox[yellow]{2} & 3 & 4 & 5\\
   0 & \bbox[yellow]{7} & -1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{-3} \\
   0 & 0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
2. B ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เพราะสมาชิกนำในแถวที่ 2 ไม่ได้อยู่ในหลักทางขวาของสมาชิกนำในแถวที่ 1
   
   \( \begin{equation}
   \qquad B =
   \begin{bmatrix}
   0 & 8 & 7 \\
   \bbox[yellow]{5} & 0 & -3 \\
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
3. C ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เพราะแถวที่ 3 มีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่อยู่ต่ำกว่าแถวที่ 2 ซึ่งมีสมาชิกเป็นศูนย์ทั้งหมด
   
   \( \begin{equation}
   \qquad C =
   \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   \bbox[aqua]{0} & \bbox[aqua]{0} & \bbox[aqua]{0} \\
   0 & 0 & \bbox[yellow]{1}
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
4. D ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เพราะมีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่ในหลักเดียวกันกับสมาชิกนำซึ่งอยู่ในแถวที่สูงกว่า
   
   \( \begin{equation}
   \qquad D =
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & \bbox[yellow]{2} & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)

เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป (Reduced row echelon form matrix)

เราจะเรียกเมทริกซ์ A ว่ามีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได และมีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

1. สมาชิกนำของแถวที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ต้องเป็น 1
2. ถ้าสมาชิกนำของแถวอยู่ในหลักใด แล้วสมาชิกตัวอื่นในหลักนั้นต้องเป็นศูนย์

 ตัวอย่าง 

1. A เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป
   
   \( \begin{equation}
   \qquad A =
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 7 & 0 \\
   0 & 1 & 2 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
2. B เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได แต่ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป เพราะสมาชิกนำในแถวที่ 2 อยู่ในหลักที่ 2 แต่สมาชิกในหลักที่ 2 ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด
   
   \( \begin{equation}
   \qquad B =
   \begin{bmatrix}
   1 & \bbox[yellow]{1} & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
3. C เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป
   
   \( \begin{equation}
   \qquad C =
   \begin{bmatrix}
   0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)

แบบฝึกหัด

จงบอกว่าเมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป หรือ ที่มีรูปแบบขั้นบันได หรือ ไม่เป็นทั้งสองอย่าง

1. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
2. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
3. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
4. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 3 & 1 \\
   0 & 1 & 2 & 4
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
5. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
6. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0 \\
   0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
7. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   1 & -7 & 5 & 5 \\
   0 & 1 & 3 & 2
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
8. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
9. \( \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 2 & 0
   \end{bmatrix}
   \end{equation}
   \)
10. \( \begin{equation}
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 4 \\
    0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0
    \end{bmatrix}
    \end{equation}
    \)
11. \( \begin{equation}
    \begin{bmatrix}
    1 & 5 & -3 \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 0
    \end{bmatrix}
    \end{equation}
    \)
12. \( \begin{equation}
    \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1
    \end{bmatrix}
    \end{equation}
    \)
13. \( \begin{equation}
    \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
    1 & 0 & 7 & 1 & 3 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{bmatrix}
    \end{equation}
    \)
14. \( \begin{equation}
    \begin{bmatrix}
    1 & -2 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 1 & -2
    \end{bmatrix}
    \end{equation}
    \)