แบบฝึกหัด ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เรื่อง ประพจน์ ชุดที่ 2

High school No Comments

แบบฝึกหัดที่ 1: จงตรวจสอบดูว่าประพจน์คู่ใดเป็นนิเสธกัน

  1. \((P \to Q) \land (Q \to R)\) และ \(P \land {\sim}R\)
  2. \(P \land (P \to Q)\) และ \(P \lor {\sim}Q\)
  3. \(P \to (Q \lor R)\) และ \({\sim}(Q \lor R) \land P\)
  4. \(P \land (P \to Q)\) และ \({\sim}P \lor {\sim}Q\)
  5. \((P \to Q) \land {\sim}Q\) และ \(P \lor Q\)
  6. \((P \to Q) \to R\) และ \(({\sim}P \lor Q) \land {\sim}R\)
ดูเฉลยคำตอบ
ประพจน์ 2 ประพจน์จะเป็นคู่นิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณี

  1. \((P \to Q) \land (Q \to R)\) และ \(P \land {\sim}R\)
    \(P\) \(Q\) \(R\) \(P \to Q\) \(Q \to R\) \((P \to Q) \land (Q \to R)\) \({\sim}R\) \(P \land {\sim}R\)
    T T T T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    T T F T F \(\color{blue}{F}\) T \(\color{blue}{T}\)
    T F T F T \(\color{blue}{F}\) F \(\color{blue}{F}\)
    T F F F T \(\color{blue}{F}\) T \(\color{blue}{T}\)
    F T T T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    F T F T F \(\color{blue}{F}\) T \(\color{blue}{F}\)
    F F T T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    F F F T T \(\color{blue}{T}\) T \(\color{blue}{F}\)
    จากตาราง ค่าความจริงของ \((P \to Q) \land (Q \to R)\) กับ \(P \land {\sim}R\) มีค่าความจริงไม่ตรงกันข้ามกันทุกกรณี
    \(\therefore\) ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่ไม่เป็นนิเสธกัน
  2. \(P \land (P \to Q)\) และ \(P \lor {\sim}Q\)
    \(P\) \(Q\) \(P \to Q\) \(P \land (P \to Q)\) \({\sim}Q\) \(P \lor {\sim}Q\)
    T T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{T}\)
    T F F \(\color{blue}{F}\) T \(\color{blue}{T}\)
    F T T \(\color{blue}{F}\) F \(\color{blue}{F}\)
    F F T \(\color{blue}{F}\) T \(\color{blue}{T}\)
    จากตาราง ค่าความจริงของ \(P \land (P \to Q)\) กับ \(P \lor {\sim}Q\) มีค่าความจริงไม่ตรงกันข้ามกันทุกกรณี
    \(\therefore\) ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่ไม่เป็นนิเสธกัน
  3. \(P \to (Q \lor R)\) และ \({\sim}(Q \lor R) \land P\)
    \(P\) \(Q\) \(R\) \(Q \lor R\) \(P \to (Q \lor R)\) \({\sim}(Q \lor R)\) \({\sim}(Q \lor R) \land P\)
    T T T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    T T F T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    T F T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    T F F F \(\color{blue}{F}\) T \(\color{blue}{T}\)
    F T T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    F T F T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    F F T T \(\color{blue}{T}\) F \(\color{blue}{F}\)
    F F F F \(\color{blue}{T}\) T \(\color{blue}{F}\)
    จากตาราง ค่าความจริงของ \(P \to (Q \lor R)\) กับ \({\sim}(Q \lor R) \land P\) มีค่าความจริงตรงกันข้ามกันทุกกรณี
    \(\therefore\) ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่เป็นนิเสธกัน
  4. \(P \land (P \to Q)\) และ \({\sim}P \lor {\sim}Q\)
    \(P\) \(Q\) \(P \to Q\) \(P \land (P \to Q)\) \({\sim}P\) \({\sim}Q\) \({\sim}P \lor {\sim}Q\)
    T T T \(\color{blue}{T}\) F F \(\color{blue}{F}\)
    T F F \(\color{blue}{F}\) F T \(\color{blue}{T}\)
    F T T \(\color{blue}{F}\) T F \(\color{blue}{T}\)
    F F T \(\color{blue}{F}\) T T \(\color{blue}{T}\)
    จากตาราง ค่าความจริงของ \(P \land (P \to Q)\) กับ \({\sim}P \lor {\sim}Q\) มีค่าความจริงตรงกันข้ามกันทุกกรณี
    \(\therefore\) ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่เป็นนิเสธกัน
  5. \((P \to Q) \land {\sim}Q\) และ \(P \lor Q\)
    \(P\) \(Q\) \(P \to Q\) \({\sim}Q\) \((P \to Q) \land {\sim}Q\) \(P \lor Q\)
    T T T F \(\color{blue}{F}\) \(\color{blue}{T}\)
    T F F T \(\color{blue}{F}\) \(\color{blue}{T}\)
    F T T F \(\color{blue}{F}\) \(\color{blue}{T}\)
    F F T T \(\color{blue}{T}\) \(\color{blue}{F}\)
    จากตาราง ค่าความจริงของ \((P \to Q) \land {\sim}Q\) กับ \(P \lor Q\) มีค่าความจริงตรงกันข้ามกันทุกกรณี
    \(\therefore\) ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่เป็นนิเสธกัน
  6. \((P \to Q) \to R\) และ \(({\sim}P \lor Q) \land {\sim}R\)
    \(P\) \(Q\) \(R\) \(P \to Q\) \((P \to Q) \to R\) \({\sim}P\) \({\sim}P \lor Q\) \({\sim}R\) \(({\sim}P \lor Q) \land {\sim}R\)
    T T T T \(\color{blue}{T}\) F T F \(\color{blue}{F}\)
    T T F T \(\color{blue}{F}\) F T T \(\color{blue}{T}\)
    T F T F \(\color{blue}{T}\) F F F \(\color{blue}{F}\)
    T F F F \(\color{blue}{T}\) F F T \(\color{blue}{F}\)
    F T T T \(\color{blue}{T}\) T T F \(\color{blue}{F}\)
    F T F T \(\color{blue}{F}\) T T T \(\color{blue}{T}\)
    F F T T \(\color{blue}{T}\) T T F \(\color{blue}{F}\)
    F F F T \(\color{blue}{F}\) T T T \(\color{blue}{T}\)
    จากตาราง ค่าความจริงของ \((P \to Q) \to R\) กับ \(({\sim}P \lor Q) \land {\sim}R\) มีค่าความจริงตรงกันข้ามกันทุกกรณี
    \(\therefore\) ดังนั้น ประพจน์ทั้งคู่เป็นนิเสธกัน

แบบฝึกหัดที่ 2: พิสูจน์โดยใช้ประพจน์ที่สมมูลกันมาพิสูจน์

จงพิสูจน์ว่า นิเสธของ \((P \land Q) \to R\) คือ \((P \land Q) \land {\sim}R\)

ดูเฉลยคำตอบ
วิธีทำ

  • เรารู้ว่า \(P \to Q \equiv {\sim}P \lor Q\)
  • เราจะได้ \((P \land Q) \to R \equiv {\sim}(P \land Q) \lor R \)
  • เมื่อเราใส่นิเสธ เราจะได้ \({\sim}[{\sim}(P \land Q) \lor R]\)
  • และเรารู้ว่า \({\sim}(P \lor Q) \equiv {\sim}P \land {\sim}Q\)
  • \(\quad
    \begin{align*}
    {\sim}[{\sim}(P \land Q) \lor R] &\equiv {\sim}[{\sim}(P \land Q)] \land {\sim}R \\[6pt] &\equiv (P \land Q) \land {\sim}R
    \end{align*}\)

Related Posts

Leave a Reply

Thumbnails managed by ThumbPress