แบบฝึกหัด ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เรื่อง ตัวบ่งปริมาณ

แบบฝึกหัดที่ 1: จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

$\forall x\forall y[2x + 2y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}$
$\exists x\exists y[\sqrt{16 \; – x^2} = y]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}$
$\exists x\exists y[\sqrt{x^2 \; – 25} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}$
$\exists x\exists y[-\sqrt{x} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}$
$\exists x\exists y[y \gt x]; \quad \mathcal{U} = \{x^2 \; – 4x \; – 12 = 0\}$
$\exists x\forall y[3x \; – 5 = 4y \; – 6]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}$
$\exists x\exists y[x \gt y] \to \forall x\forall y[xy \lt 0]; \quad \mathcal{U} = \{-2, -3, -4\}$
$\exists y[y \gt 0] \to \forall y[y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}$
$\exists x\exists y[xy \gt x + y] \leftrightarrow \forall x\forall y[xy \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}$
$\forall x\exists y[x^2 + 3y \lt 10]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}$
$\forall x\exists y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}$
$\exists x\forall y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}$
$\forall x\exists y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}$
$\exists x\forall y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}$
$\forall x\forall y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}$
$\exists x\exists y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}$
$\exists x\forall y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}$
$\forall x\exists y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}$
$\forall x\exists y[y \gt x] \to \exists x\exists y[x + 5 = y + 2]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}$
$\forall x[x > 2] \leftrightarrow \forall x\forall y[x + y = y + x]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1\}$

ดูเฉลยคำตอบ

\forall x\forall y[2x + 2y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}
วิธีทำ
- แทน $x = 0$ จะได้ $\forall y[0 + 2y \gt 0]$ ซึ่งจะเป็นเท็จเมื่อ $y = 0$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ
\exists x\exists y[\sqrt{16 \; – x^2} = y]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}
วิธีทำ
- แทน $x = 0$ เราจะได้ $\exists y[\sqrt{16 \; – 0} = y]$ เป็นเท็จ
- แทน $x = 1$ เราจะได้ $\exists y[\sqrt{16 \; – 1} = y]$ เป็นเท็จ
- แทน $x = 2$ เราจะได้ $\exists y[\sqrt{16 \; – 2^2} = y]$ เป็นเท็จ
- พบว่าไม่มีค่า $x$ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่จะทำให้ประพจน์นี้เป็นจริงได้เลย
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ
\exists x\exists y[\sqrt{x^2 \; – 25} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}
วิธีทำ
- แทน $x = 5$ เราจะได้ $\exists y[\sqrt{5^2 \; – 25} = y]$ เป็นจริง โดย $y = 0$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\exists y[-\sqrt{x} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}
วิธีทำ
- แทน $x = 4$ เราจะได้ $\exists y[-\sqrt{4} = y]$ เป็นจริง โดย $y = -2$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\exists y[y \gt x]; \quad \mathcal{U} = \{x^2 \; – 4x \; – 12 = 0\}
วิธีทำ
- แก้สมการหาค่า $x$ โดยเราสามารถใช้วิธีแยกตัวประกอบได้
- $x^2 \; – 4x \; – 12 = (x \; – 6)(x + 2)$
- เราจะได้ $x = -2, 6$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\forall y[3x \; – 5 = 4y \; – 6]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}
วิธีทำ
- แทน $x = 0$ เราจะได้ $\forall y[3(0) \; – 5 = 4y \; – 6]$ เป็นเท็จ เพราะเราจะได้ $y = \frac{1}{4}$
- แทน $x = 1$ เราจะได้ $\forall y[3(1) \; – 5 = 4y \; – 6]$ เป็นจริง โดย $y = 1$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\exists y[x \gt y] \to \forall x\forall y[xy \lt 0]; \quad \mathcal{U} = \{-2, -3, -4\}
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน $x = -2$ เราจะได้ $\exists y[-2 \gt y]$ เป็นจริง โดย $y = -3$
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน $x = -2$ เราจะได้ $\forall y[(-2)y \lt 0]$ เป็นเท็จ ถ้า $y \le 0$
- เมื่อเรารู้ว่า ประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นเท็จ เราจะได้ $T \to F \equiv F$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ
\exists y[y \gt 0] \to \forall y[y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน $y = 1$ เราจะได้ $1 \gt 0$ เป็นจริง
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน $y = 0$ เราจะได้ $0 \gt 0$ เป็นเท็จ
- เมื่อเรารู้ว่า ประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นเท็จ เราจะได้ $T \to F \equiv F$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ
\exists x\exists y[xy \gt x + y] \leftrightarrow \forall x\forall y[xy \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน $x = 2, y = 3$ เราจะได้ $(2)(3) \gt 2 + 3$ เป็นจริง
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน $x = 2, y = -3$ เราจะได้ $(2)(-3) > 0$ ซึ่งเป็นเท็จ
- เมื่อเรารู้ว่า ประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นเท็จ เราจะได้ $T \leftrightarrow F \equiv F$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ
\forall x\exists y[x^2 + 3y \lt 10]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}
วิธีทำ
- แทน $x = 0$ เราจะได้ $\exists y[(0)^2 + 3y \lt 10]$ เป็นจริง สำหรับทุกค่า $y \in \mathbf{U}$
- แทน $x = 1$ เราจะได้ $\exists y[(1)^2 + 3y \lt 10]$ เป็นจริง ถ้า $y \in \{0, 1, 2\}$
- แทน $x = 2$ เราจะได้ $\exists y[(2)^2 + 3y \lt 10]$ เป็นจริง ถ้า $y \in \{0, 1\}$
- แทน $x = 3$ เราจะได้ $\exists y[(3)^2 + 3y \lt 10]$ เป็นจริง ถ้า $y = 0$
- เมื่อแทน $x$ ด้วยสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประพจน์ $\exists y[x^2 + 3y \lt 10]$ มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\forall x\exists y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}
วิธีทำ
- แทน x \geq 0 เราจะได้ \exists y[|x + y| = |x| + |y|] เป็นจริง ถ้า y \geq 0 เช่น
  - $x = 2, y = 3$ เราจะได้ $|2 + 3| = |2| + |3| = 5$
  - $x = 25, y = 35$ เราจะได้ $|25 + 35| = |25| + |35| = 60$
- แทน x \lt 0 เราจะได้ \exists y[|x + y| = |x| + |y|] เป็นจริง ถ้า y \lt 0 เช่น
  - $x = -2, y = -3$ เราจะได้ $|(-2) + (-3)| = |-2| + |-3| = 5$
  - $x = -100, y = -101$ เราจะได้ $|(-100) + (-101)| = |-100| + |-101| = 201$
- เมื่อแทน $x$ ด้วยสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประพจน์ $\exists y[|x + y| = |x| + |y|]$ มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\forall y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}
วิธีทำ
- แทน $x = 0$ เราจะได้ $\forall y[|0 + y| = |0| + |y|]$ เป็นจริง สำหรับทุกค่า $y \in \mathbf{R}$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\forall x\exists y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}
วิธีทำ
- สำหรับทุกค่าของ x จะมีค่า y บางตัวที่มากกว่า x เสมอ เช่น
  - $x = 1, y = 1.1$
  - $x = 1{,}000{,}000, y = 1{,}000{,}001$
- เราจะได้ว่า เราสามารถหาค่าจำนวนจริง $y$ ที่มากกว่า $x$ ได้เสมอ
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\forall y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}
วิธีทำ
- สำหรับบางค่าของ $x$ จะมีค่า $y$ ทุกตัวที่มากกว่า $x$ เสมอ
- ประพจน์นี้เป็นเท็จ เพราะว่า ไม่ว่า $x$ จะมีค่าใดๆ เราจะสามารถหาค่า $y$ ที่น้อยกว่า $x$ ได้เสมอ
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ
\forall x\forall y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน $x = 5$ เราจะได้ $\forall y[5 \gt y]$ เป็นเท็จ ถ้า $y \geq 5$
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นเท็จ และไม่ว่าประพจน์ด้านหลังจะมีค่าความจริงเป็นอย่างไร เราจะได้ $F \to \{T,F\} \equiv T$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\exists y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน $x = 5$ เราจะได้ $\exists y[5 \gt y]$ เป็นจริง ถ้า $y \lt 5$
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน $x = 5$ เราจะได้ $\exists y[\frac{1}{5} \lt \frac{1}{y}]$ เป็นจริง ถ้า $y \lt 5$
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นจริง เราจะได้ $T \to T \equiv T$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\exists x\forall y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}
วิธีทำ
- สำหรับบางค่าของ $x$ จะมีค่า $y$ ทุกตัวที่ซึ่ง $x + y = x \; – y$
- ประพจน์นี้เป็นเท็จ เพราะว่า ไม่มีจำนวนเต็ม $x$ ใดๆ ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงสำหรับทุกค่าของจำนวนเต็ม $y$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ
\forall x\exists y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}
วิธีทำ
- สำหรับทุกค่าของ $x$ จะมีค่า $y$ บางตัว ที่ซึ่ง $x + y = x \; – y$
- เมื่อแทน $y = 0$ เราจะได้ $\forall x[x + 0 = x \; – 0]$ เป็นจริง ไม่ว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\forall x\exists y[y \gt x] \to \exists x\exists y[x + 5 = y + 2]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน $x = 2$ เราจะได้ $\exists y[y \gt 2]$ เป็นเท็จ
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นเท็จ และไม่ว่าประพจน์ด้านหลังจะมีค่าความจริงเป็นอย่างไร เราจะได้ $F \to \{T,F\} \equiv T$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นจริง
\forall x[x > 2] \leftrightarrow \forall x\forall y[x + y = y + x]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1\}
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน $x = 0$ เราจะได้ $0 > 2$ เป็นเท็จ
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง
  - แทน $x = 0$ เราจะได้ $\forall y[0 + y = y + 0]$ เป็นจริง
  - แทน $x = 1$ เราจะได้ $\forall y[1 + y = y + 1]$ เป็นจริง
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นเท็จ และประพจน์ด้านหลังเป็นจริง เราจะได้ $F \leftrightarrow T \equiv F$
- $\therefore$ ประพจน์นี้เป็นเท็จ

แบบฝึกหัดที่ 2: จงตรวจสอบว่าประโยคแต่ละคู่ต่อไปนี้คู่ใดสมมูลกัน

$\forall x[x \gt 0 \to x^2 \gt 0] \quad$ กับ $\quad \forall x[x^2 \leq 0 \to x \leq 0]$
$\exists x[x \in \mathcal{I} \land x + 2 = 5]\quad$ กับ $\quad \exists x[x + 2 = 5 \land x \in \mathcal{I}]$
$\forall x[x \leq 0]\quad$ กับ $\quad \exists x[x \gt 0]$

ดูเฉลยคำตอบ

\forall x[x \gt 0 \to x^2 \gt 0] \quad กับ \quad \forall x[x^2 \leq 0 \to x \leq 0]
วิธีทำ
- ให้ $P$ แทน $x \gt 0$ เราจะได้ ${\sim}P \equiv x \leq 0$
- ให้ $Q$ แทน $x^2 \gt 0$ เราจะได้ ${\sim}Q \equiv x^2 \leq 0$
- จาก $P \to Q \equiv {\sim}Q \to {\sim}P$ เราจะได้ $\forall x[P \to Q] \equiv \forall x[{\sim}Q \to {\sim}P]$
- $\therefore$ ประโยคคู่นี้คู่สมมูลกัน
\exists x[x \in \mathcal{I} \land x + 2 = 5]\quad กับ \quad \exists x[x + 2 = 5 \land x \in \mathcal{I}]
วิธีทำ
- ให้ $P$ แทน $x \in \mathcal{I}$
- ให้ $Q$ แทน $x + 2 = 5$
- จาก $P \land Q \equiv Q \land P$ เราจะได้ $\exists x[P \land Q] \equiv \exists x[Q \land P]$
- $\therefore$ ประโยคคู่นี้คู่สมมูลกัน
\forall x[x \leq 0]\quad กับ \quad \exists x[x \gt 0]
วิธีทำ
- ให้ $P$ แทน $x \leq 0$ เราจะได้ ${\sim}P \equiv x \gt 0$
- จากนิเสธของ $P$ คือ ${\sim}P$ เราจะได้ $\forall x[P] \equiv \exists x[{\sim}P]$
- $\therefore$ ประโยคคู่นี้เป็นนิเสธกัน

แบบฝึกหัดที่ 3: จงหานิเสธของประโยคต่อไปนี้

หลักการคิด ให้กลับตัวบ่งปริมาณ (เปลี่ยน $\forall$ เป็น $\exists$ , และ $\exists$ เป็น $\forall$ ) แล้วแจกนิเสธให้ประโยคด้านในได้เลย

$\exists x[x \lt 6] \to \forall x[x \gt 8]$
$\exists x\forall y[(x = y) \to (x^2 \gt y)]$
$\exists x\forall y[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)]$

ดูเฉลยคำตอบ

\exists x[x \lt 6] \to \forall x[x \gt 8]
วิธีทำ
- จาก ${\sim}(P \to Q) \equiv P \land {\sim}Q$
- $\begin{align*} {\sim}[\exists x[x \lt 6] \to \forall x[x \gt 8]] &\equiv \exists x[x \lt 6] \land {\sim}\forall x[x \gt 8] \\[6pt] &\equiv \exists x[x \lt 6] \land \exists x[x \leq 8] \end{align*}$
\exists x\forall y[(x = y) \to (x^2 \gt y)]
วิธีทำ
- จาก $\quad {\sim}(P \to Q) \equiv P \land {\sim}Q$
- $\begin{align*} {\sim}[\exists x\forall y[(x = y) \to (x^2 \gt y)]] &\equiv \forall x \exists y[{\sim}[(x = y) \to (x^2 \gt y)]] \\[6pt] &\equiv \forall x \exists y[(x = y) \land {\sim}(x^2 \gt y)] \\[6pt] &\equiv \forall x \exists y[(x = y) \land (x^2 \leq y)] \end{align*}$
\exists x\forall y\bigl[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]
วิธีทำ
- จาก $\quad {\sim}(P \to Q) \equiv P \land {\sim}Q$
- และ $\quad {\sim}(P \lor Q) \equiv {\sim}P \land {\sim}Q$
- $\begin{align*} &{\sim}\Bigl[\exists x\forall y\bigl[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]\Bigl] \\[8pt] & \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\Bigl[{\sim}\bigl[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]\Bigl] \\[8pt] & \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\Bigl[(xy \lt 0) \land {\sim}\bigl[(x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]\Bigl] \\[8pt] & \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\bigl[(xy \lt 0) \land {\sim}(x \lt 0) \land {\sim}(y \lt 0)\bigl] \\[8pt] & \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\bigl[(xy \lt 0) \land (x \geq 0) \land (y \geq 0)\bigl] \end{align*}$

แบบฝึกหัดที่ 1: จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

แบบฝึกหัดที่ 2: จงตรวจสอบว่าประโยคแต่ละคู่ต่อไปนี้คู่ใดสมมูลกัน

แบบฝึกหัดที่ 3: จงหานิเสธของประโยคต่อไปนี้

Related Posts

Leave a Reply