แบบฝึกหัดที่ 1: จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
- \(\forall x\forall y[2x + 2y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}\)
- \(\exists x\exists y[\sqrt{16 \; – x^2} = y]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
- \(\exists x\exists y[\sqrt{x^2 \; – 25} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
- \(\exists x\exists y[-\sqrt{x} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
- \(\exists x\exists y[y \gt x]; \quad \mathcal{U} = \{x^2 \; – 4x \; – 12 = 0\}\)
- \(\exists x\forall y[3x \; – 5 = 4y \; – 6]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
- \(\exists x\exists y[x \gt y] \to \forall x\forall y[xy \lt 0]; \quad \mathcal{U} = \{-2, -3, -4\}\)
- \(\exists y[y \gt 0] \to \forall y[y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
- \(\exists x\exists y[xy \gt x + y] \leftrightarrow \forall x\forall y[xy \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
- \(\forall x\exists y[x^2 + 3y \lt 10]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}\)
- \(\forall x\exists y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
- \(\exists x\forall y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
- \(\forall x\exists y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
- \(\exists x\forall y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
- \(\forall x\forall y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}\)
- \(\exists x\exists y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}\)
- \(\exists x\forall y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
- \(\forall x\exists y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
- \(\forall x\exists y[y \gt x] \to \exists x\exists y[x + 5 = y + 2]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
- \(\forall x[x > 2] \leftrightarrow \forall x\forall y[x + y = y + x]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1\}\)
ดูเฉลยคำตอบ
- \(\forall x\forall y[2x + 2y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}\)
วิธีทำ
- แทน \(x = 0\) จะได้ \(\forall y[0 + 2y \gt 0]\) ซึ่งจะเป็นเท็จเมื่อ \(y = 0\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
- \(\exists x\exists y[\sqrt{16 \; – x^2} = y]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
วิธีทำ
- แทน \(x = 0\) เราจะได้ \(\exists y[\sqrt{16 \; – 0} = y]\) เป็นเท็จ
- แทน \(x = 1\) เราจะได้ \(\exists y[\sqrt{16 \; – 1} = y]\) เป็นเท็จ
- แทน \(x = 2\) เราจะได้ \(\exists y[\sqrt{16 \; – 2^2} = y]\) เป็นเท็จ
- พบว่าไม่มีค่า \(x\) ในเอกภพสัมพัทธ์ที่จะทำให้ประพจน์นี้เป็นจริงได้เลย
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
- \(\exists x\exists y[\sqrt{x^2 \; – 25} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
วิธีทำ
- แทน \(x = 5\) เราจะได้ \(\exists y[\sqrt{5^2 \; – 25} = y]\) เป็นจริง โดย \(y = 0\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\exists y[-\sqrt{x} = y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
วิธีทำ
- แทน \(x = 4\) เราจะได้ \(\exists y[-\sqrt{4} = y]\) เป็นจริง โดย \(y = -2\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\exists y[y \gt x]; \quad \mathcal{U} = \{x^2 \; – 4x \; – 12 = 0\}\)
วิธีทำ
- แก้สมการหาค่า \(x\) โดยเราสามารถใช้วิธีแยกตัวประกอบได้
- \(x^2 \; – 4x \; – 12 = (x \; – 6)(x + 2)\)
- เราจะได้ \(x = -2, 6\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\forall y[3x \; – 5 = 4y \; – 6]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
วิธีทำ
- แทน \(x = 0\) เราจะได้ \(\forall y[3(0) \; – 5 = 4y \; – 6]\) เป็นเท็จ เพราะเราจะได้ \(y = \frac{1}{4}\)
- แทน \(x = 1\) เราจะได้ \(\forall y[3(1) \; – 5 = 4y \; – 6]\) เป็นจริง โดย \(y = 1\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\exists y[x \gt y] \to \forall x\forall y[xy \lt 0]; \quad \mathcal{U} = \{-2, -3, -4\}\)
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน \(x = -2\) เราจะได้ \(\exists y[-2 \gt y]\) เป็นจริง โดย \(y = -3\)
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน \(x = -2\) เราจะได้ \(\forall y[(-2)y \lt 0]\) เป็นเท็จ ถ้า \(y \le 0\)
- เมื่อเรารู้ว่า ประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นเท็จ เราจะได้ \(T \to F \equiv F\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
- \(\exists y[y \gt 0] \to \forall y[y \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน \(y = 1\) เราจะได้ \(1 \gt 0\) เป็นจริง
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน \(y = 0\) เราจะได้ \(0 \gt 0\) เป็นเท็จ
- เมื่อเรารู้ว่า ประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นเท็จ เราจะได้ \(T \to F \equiv F\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
- \(\exists x\exists y[xy \gt x + y] \leftrightarrow \forall x\forall y[xy \gt 0]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน \(x = 2, y = 3\) เราจะได้ \((2)(3) \gt 2 + 3\) เป็นจริง
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน \(x = 2, y = -3\) เราจะได้ \((2)(-3) > 0\) ซึ่งเป็นเท็จ
- เมื่อเรารู้ว่า ประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นเท็จ เราจะได้ \(T \leftrightarrow F \equiv F\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
- \(\forall x\exists y[x^2 + 3y \lt 10]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2, 3\}\)
วิธีทำ
- แทน \(x = 0\) เราจะได้ \(\exists y[(0)^2 + 3y \lt 10]\) เป็นจริง สำหรับทุกค่า \(y \in \mathbf{U}\)
- แทน \(x = 1\) เราจะได้ \(\exists y[(1)^2 + 3y \lt 10]\) เป็นจริง ถ้า \(y \in \{0, 1, 2\}\)
- แทน \(x = 2\) เราจะได้ \(\exists y[(2)^2 + 3y \lt 10]\) เป็นจริง ถ้า \(y \in \{0, 1\}\)
- แทน \(x = 3\) เราจะได้ \(\exists y[(3)^2 + 3y \lt 10]\) เป็นจริง ถ้า \(y = 0\)
- เมื่อแทน \(x\) ด้วยสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประพจน์ \(\exists y[x^2 + 3y \lt 10]\) มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\forall x\exists y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
วิธีทำ
- แทน \(x \geq 0\) เราจะได้ \(\exists y[|x + y| = |x| + |y|]\) เป็นจริง ถ้า \(y \geq 0\) เช่น
- \(x = 2, y = 3\) เราจะได้ \(|2 + 3| = |2| + |3| = 5\)
- \(x = 25, y = 35\) เราจะได้ \(|25 + 35| = |25| + |35| = 60\)
- แทน \(x \lt 0\) เราจะได้ \(\exists y[|x + y| = |x| + |y|]\) เป็นจริง ถ้า \(y \lt 0\) เช่น
- \(x = -2, y = -3\) เราจะได้ \(|(-2) + (-3)| = |-2| + |-3| = 5\)
- \(x = -100, y = -101\) เราจะได้ \(|(-100) + (-101)| = |-100| + |-101| = 201\)
- เมื่อแทน \(x\) ด้วยสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประพจน์ \(\exists y[|x + y| = |x| + |y|]\) มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\forall y[|x + y| = |x| + |y|]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
วิธีทำ
- แทน \(x = 0\) เราจะได้ \(\forall y[|0 + y| = |0| + |y|]\) เป็นจริง สำหรับทุกค่า \(y \in \mathbf{R}\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\forall x\exists y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R}\)
วิธีทำ
- สำหรับทุกค่าของ \(x\) จะมีค่า \(y\) บางตัวที่มากกว่า \(x\) เสมอ เช่น
- \(x = 1, y = 1.1\)
- \(x = 1{,}000{,}000, y = 1{,}000{,}001\)
- เราจะได้ว่า เราสามารถหาค่าจำนวนจริง \(y\) ที่มากกว่า \(x\) ได้เสมอ
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\forall y[x \lt y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
วิธีทำ
- สำหรับบางค่าของ \(x\) จะมีค่า \(y\) ทุกตัวที่มากกว่า \(x\) เสมอ
- ประพจน์นี้เป็นเท็จ เพราะว่า ไม่ว่า \(x\) จะมีค่าใดๆ เราจะสามารถหาค่า \(y\) ที่น้อยกว่า \(x\) ได้เสมอ
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
- \(\forall x\forall y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}\)
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน \(x = 5\) เราจะได้ \(\forall y[5 \gt y]\) เป็นเท็จ ถ้า \(y \geq 5\)
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นเท็จ และไม่ว่าประพจน์ด้านหลังจะมีค่าความจริงเป็นอย่างไร เราจะได้ \(F \to \{T,F\} \equiv T\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\exists y[x \gt y \to \frac{1}{x} \lt \frac{1}{y}]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{R} \; – \{0\}\)
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน \(x = 5\) เราจะได้ \(\exists y[5 \gt y]\) เป็นจริง ถ้า \(y \lt 5\)
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง แทน \(x = 5\) เราจะได้ \(\exists y[\frac{1}{5} \lt \frac{1}{y}]\) เป็นจริง ถ้า \(y \lt 5\)
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นจริง และประพจน์ด้านหลังเป็นจริง เราจะได้ \(T \to T \equiv T\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\exists x\forall y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
วิธีทำ
- สำหรับบางค่าของ \(x\) จะมีค่า \(y\) ทุกตัวที่ซึ่ง \(x + y = x \; – y\)
- ประพจน์นี้เป็นเท็จ เพราะว่า ไม่มีจำนวนเต็ม \(x\) ใดๆ ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงสำหรับทุกค่าของจำนวนเต็ม \(y\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
- \(\forall x\exists y[x + y = x \; – y]; \quad \mathcal{U} = \mathbf{I}\)
วิธีทำ
- สำหรับทุกค่าของ \(x\) จะมีค่า \(y\) บางตัว ที่ซึ่ง \(x + y = x \; – y\)
- เมื่อแทน \(y = 0\) เราจะได้ \(\forall x[x + 0 = x \; – 0]\) เป็นจริง ไม่ว่า \(x\) เป็นจำนวนเต็มใดๆ
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\forall x\exists y[y \gt x] \to \exists x\exists y[x + 5 = y + 2]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1, 2\}\)
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน \(x = 2\) เราจะได้ \(\exists y[y \gt 2]\) เป็นเท็จ
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นเท็จ และไม่ว่าประพจน์ด้านหลังจะมีค่าความจริงเป็นอย่างไร เราจะได้ \(F \to \{T,F\} \equiv T\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นจริง
- \(\forall x[x > 2] \leftrightarrow \forall x\forall y[x + y = y + x]; \quad \mathcal{U} = \{0, 1\}\)
วิธีทำ
- พิจารณาประพจน์ด้านหน้า แทน \(x = 0\) เราจะได้ \(0 > 2\) เป็นเท็จ
- พิจารณาประพจน์ด้านหลัง
- แทน \(x = 0\) เราจะได้ \(\forall y[0 + y = y + 0]\) เป็นจริง
- แทน \(x = 1\) เราจะได้ \(\forall y[1 + y = y + 1]\) เป็นจริง
- เมื่อประพจน์ด้านหน้าเป็นเท็จ และประพจน์ด้านหลังเป็นจริง เราจะได้ \(F \leftrightarrow T \equiv F\)
- \(\therefore \) ประพจน์นี้เป็นเท็จ
แบบฝึกหัดที่ 2: จงตรวจสอบว่าประโยคแต่ละคู่ต่อไปนี้คู่ใดสมมูลกัน
- \(\forall x[x \gt 0 \to x^2 \gt 0] \quad\) กับ \(\quad \forall x[x^2 \leq 0 \to x \leq 0]\)
- \(\exists x[x \in \mathcal{I} \land x + 2 = 5]\quad\) กับ \(\quad \exists x[x + 2 = 5 \land x \in \mathcal{I}]\)
- \(\forall x[x \leq 0]\quad\) กับ \(\quad \exists x[x \gt 0]\)
ดูเฉลยคำตอบ
- \(\forall x[x \gt 0 \to x^2 \gt 0] \quad\) กับ \(\quad \forall x[x^2 \leq 0 \to x \leq 0]\)
วิธีทำ
- ให้ \(P\) แทน \(x \gt 0\) เราจะได้ \({\sim}P \equiv x \leq 0\)
- ให้ \(Q\) แทน \(x^2 \gt 0\) เราจะได้ \({\sim}Q \equiv x^2 \leq 0\)
- จาก \(P \to Q \equiv {\sim}Q \to {\sim}P\) เราจะได้ \(\forall x[P \to Q] \equiv \forall x[{\sim}Q \to {\sim}P]\)
- \(\therefore \) ประโยคคู่นี้คู่สมมูลกัน
- \(\exists x[x \in \mathcal{I} \land x + 2 = 5]\quad\) กับ \(\quad \exists x[x + 2 = 5 \land x \in \mathcal{I}]\)
วิธีทำ
- ให้ \(P\) แทน \(x \in \mathcal{I}\)
- ให้ \(Q\) แทน \(x + 2 = 5\)
- จาก \(P \land Q \equiv Q \land P\) เราจะได้ \(\exists x[P \land Q] \equiv \exists x[Q \land P]\)
- \(\therefore \) ประโยคคู่นี้คู่สมมูลกัน
- \(\forall x[x \leq 0]\quad\) กับ \(\quad \exists x[x \gt 0]\)
วิธีทำ
- ให้ \(P\) แทน \(x \leq 0\) เราจะได้ \({\sim}P \equiv x \gt 0\)
- จากนิเสธของ \(P\) คือ \({\sim}P\) เราจะได้ \(\forall x[P] \equiv \exists x[{\sim}P]\)
- \(\therefore \) ประโยคคู่นี้เป็นนิเสธกัน
แบบฝึกหัดที่ 3: จงหานิเสธของประโยคต่อไปนี้
หลักการคิด ให้กลับตัวบ่งปริมาณ (เปลี่ยน \(\forall\) เป็น \(\exists\), และ \(\exists\) เป็น \(\forall\)) แล้วแจกนิเสธให้ประโยคด้านในได้เลย
- \(\exists x[x \lt 6] \to \forall x[x \gt 8]\)
- \(\exists x\forall y[(x = y) \to (x^2 \gt y)]\)
- \(\exists x\forall y[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)]\)
ดูเฉลยคำตอบ
- \(\exists x[x \lt 6] \to \forall x[x \gt 8]\)
วิธีทำ
- จาก \({\sim}(P \to Q) \equiv P \land {\sim}Q\)
- \(
\begin{align*}
{\sim}[\exists x[x \lt 6] \to \forall x[x \gt 8]] &\equiv \exists x[x \lt 6] \land {\sim}\forall x[x \gt 8] \\[6pt]
&\equiv \exists x[x \lt 6] \land \exists x[x \leq 8]
\end{align*}\)
- \(\exists x\forall y[(x = y) \to (x^2 \gt y)]\)
วิธีทำ
- จาก \(\quad {\sim}(P \to Q) \equiv P \land {\sim}Q\)
- \(
\begin{align*}
{\sim}[\exists x\forall y[(x = y) \to (x^2 \gt y)]] &\equiv \forall x \exists y[{\sim}[(x = y) \to (x^2 \gt y)]] \\[6pt]
&\equiv \forall x \exists y[(x = y) \land {\sim}(x^2 \gt y)] \\[6pt]
&\equiv \forall x \exists y[(x = y) \land (x^2 \leq y)]
\end{align*}\)
- \(\exists x\forall y\bigl[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]\)
วิธีทำ
- จาก \(\quad {\sim}(P \to Q) \equiv P \land {\sim}Q\)
- และ \(\quad {\sim}(P \lor Q) \equiv {\sim}P \land {\sim}Q\)
- \(
\begin{align*}
&{\sim}\Bigl[\exists x\forall y\bigl[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]\Bigl] \\[8pt]
& \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\Bigl[{\sim}\bigl[(xy \lt 0) \to (x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]\Bigl] \\[8pt]
& \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\Bigl[(xy \lt 0) \land {\sim}\bigl[(x \lt 0) \lor (y \lt 0)\bigl]\Bigl] \\[8pt]
& \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\bigl[(xy \lt 0) \land {\sim}(x \lt 0) \land {\sim}(y \lt 0)\bigl] \\[8pt]
& \qquad \quad\equiv \forall x \exists y\bigl[(xy \lt 0) \land (x \geq 0) \land (y \geq 0)\bigl]
\end{align*}\)
