พื้นฐานเลขยกกำลังและกรณฑ์

สมบัติเลขยกกำลัง

เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $m,n$ เป็นจำนวนจริง

1. $\begin{aligned}[t] a^0 = 1 \end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned}$ และ $\begin{aligned}[t] a^1 = a \end{aligned}$
2. $\begin{aligned}[t] a^m \times a^n = a^{m + n} \end{aligned}$
3. $\begin{aligned}[t] \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n} \end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned}$
4. $\begin{aligned}[t] (a^m)^n = a^{mn} \end{aligned}$
5. $\begin{aligned}[t] (ab)^m = a^m \times b^n \end{aligned}$
6. $\begin{aligned}[t] (\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m} \end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] b \neq 0 \end{aligned}$
7. $\begin{aligned}[t] a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned}$
8. $\begin{aligned}[t] a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \end{aligned}$
9. $\begin{aligned}[t] a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m\end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] \frac{m}{n} \end{aligned}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

นิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากกว่า $1$ เราจะกำหนดได้ว่า กรณฑ์ที่ $n$ ของ $x$ ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\sqrt[n]{x}$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ $x^{\frac{1}{n}}$

สมบัติกรณฑ์

กำหนดให้ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่มากกว่า 1

1. $\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}[t] \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}\end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] y \neq 0 \end{aligned}$
3. $\begin{aligned}[t] (\sqrt[n]{x})^n = x \end{aligned}$
4. $\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x, & \text{เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคี่} \\[2ex] |x|, & \text{เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่} \end{cases} \end{aligned}$
5. $\begin{aligned}[t] a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] \frac{m}{n} \end{aligned}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
6. $\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} \end{aligned}$ เมื่อ $\begin{aligned}[t] b \neq 0 \end{aligned}$

แบบฝึกหัดที่ 1 จงจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

1. $\sqrt{32}$
2. $\sqrt{72}$
3. $\sqrt[3]{72}$
4. $\sqrt[3]{432}$