พื้นฐานเลขยกกำลังและกรณฑ์

สมบัติเลขยกกำลัง

เมื่อ \(a,b\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(m,n\) เป็นจำนวนจริง

  1. \(\begin{aligned}[t] a^0 = 1 \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned} \) และ \(\begin{aligned}[t] a^1 = a \end{aligned} \)
  2. \(\begin{aligned}[t] a^m \times a^n = a^{m + n} \end{aligned} \)
  3. \(\begin{aligned}[t] \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned} \)
  4. \(\begin{aligned}[t] (a^m)^n = a^{mn} \end{aligned} \)
  5. \(\begin{aligned}[t] (ab)^m = a^m \times b^n \end{aligned} \)
  6. \(\begin{aligned}[t] (\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] b \neq 0 \end{aligned} \)
  7. \(\begin{aligned}[t] a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned} \)
  8. \(\begin{aligned}[t] a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \end{aligned} \)
  9. \(\begin{aligned}[t] a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m\end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] \frac{m}{n} \end{aligned} \) เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

นิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่มากกว่า \(1\) เราจะกำหนดได้ว่า กรณฑ์ที่ \(n\) ของ \(x\) ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \(\sqrt[n]{x}\) ซึ่งมีค่าเท่ากับ \(x^{\frac{1}{n}}\)

สมบัติกรณฑ์

กำหนดให้ \(m,n\) เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่มากกว่า 1

  1. \(\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}\end{aligned} \)
  2. \(\begin{aligned}[t] \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}\end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] y \neq 0 \end{aligned} \)
  3. \(\begin{aligned}[t] (\sqrt[n]{x})^n = x \end{aligned}\)
  4. \(\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{x^n} = \begin{cases}
    x, & \text{เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคี่} \\[2ex] |x|, & \text{เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่}
    \end{cases} \end{aligned} \)
  5. \(\begin{aligned}[t] a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] \frac{m}{n} \end{aligned} \) เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
  6. \(\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] b \neq 0 \end{aligned} \)
ตัวอย่างที่ 1 การจัดรูปพื้นฐานที่ควรรู้

  1. \(\begin{aligned}[t] \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{15} \end{aligned}\) แต่ \(\begin{aligned}[t] \sqrt{5} + \sqrt{3} \neq \sqrt{8}\end{aligned}\)
  2. \(\begin{aligned}[t] \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7 \end{aligned}\) แต่ \(\begin{aligned}[t] \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7} \neq 7 \end{aligned}\) ที่ถูกต้องคือ \(\begin{aligned}[t] \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 \end{aligned}\) (รากที่ 3 ต้องคูณกัน 3 ครั้ง รากจึงจะหาย)
  3. \(\begin{aligned}[t] 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \end{aligned}\)
  4. \(\begin{aligned}[t] \sqrt[4]{(x + 1)^2} = (x + 1)^{\frac{2}{4}} = (x + 1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x + 1} \end{aligned}\)

แบบฝึกหัดที่ 1 จงจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

  1. \( \sqrt{32} \)
  2. \( \sqrt{72} \)
  3. \( \sqrt[3]{72} \)
  4. \( \sqrt[3]{432} \)
ดูเฉลยคำตอบ
  1. \( \sqrt{32} = \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
  2. \( \sqrt{72} = \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3} = 6\sqrt{2} \)
  3. \( \sqrt[3]{72} = \sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3} = 2(\sqrt[3]{9}) \)
  4. \( \sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3} = 6(\sqrt[3]{2}) \)

Leave a Reply

Thumbnails managed by ThumbPress