พื้นฐานเลขยกกำลังและกรณฑ์

สมบัติเลขยกกำลัง

เมื่อ \(a,b\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(m,n\) เป็นจำนวนจริง

1. \(\begin{aligned}[t] a^0 = 1 \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned} \) และ \(\begin{aligned}[t] a^1 = a \end{aligned} \)
2. \(\begin{aligned}[t] a^m \times a^n = a^{m + n} \end{aligned} \)
3. \(\begin{aligned}[t] \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned} \)
4. \(\begin{aligned}[t] (a^m)^n = a^{mn} \end{aligned} \)
5. \(\begin{aligned}[t] (ab)^m = a^m \times b^n \end{aligned} \)
6. \(\begin{aligned}[t] (\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] b \neq 0 \end{aligned} \)
7. \(\begin{aligned}[t] a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] a \neq 0 \end{aligned} \)
8. \(\begin{aligned}[t] a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \end{aligned} \)
9. \(\begin{aligned}[t] a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m\end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] \frac{m}{n} \end{aligned} \) เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

นิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่มากกว่า \(1\) เราจะกำหนดได้ว่า กรณฑ์ที่ \(n\) ของ \(x\) ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \(\sqrt[n]{x}\) ซึ่งมีค่าเท่ากับ \(x^{\frac{1}{n}}\)

สมบัติกรณฑ์

กำหนดให้ \(m,n\) เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่มากกว่า 1

1. \(\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}\end{aligned} \)
2. \(\begin{aligned}[t] \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}\end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] y \neq 0 \end{aligned} \)
3. \(\begin{aligned}[t] (\sqrt[n]{x})^n = x \end{aligned}\)
4. \(\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{x^n} = \begin{cases}
   x, & \text{เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคี่} \\[2ex] |x|, & \text{เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่}
   \end{cases} \end{aligned} \)
5. \(\begin{aligned}[t] a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] \frac{m}{n} \end{aligned} \) เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
6. \(\begin{aligned}[t] \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} \end{aligned} \) เมื่อ \(\begin{aligned}[t] b \neq 0 \end{aligned} \)

แบบฝึกหัดที่ 1 จงจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

1. \( \sqrt{32} \)
2. \( \sqrt{72} \)
3. \( \sqrt[3]{72} \)
4. \( \sqrt[3]{432} \)