จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
- \(\require{cancel} \lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 – 5}{2x}\)
- \(\lim\limits_{x \to -2} \frac{2x + 7}{6x^4 + x – 10}\)
- \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}\)
- \(\lim\limits_{x \to -3} \frac{x^3 – 4x^2 + x + 6}{x + 1}\)
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}(\frac{1}{x + 1} – \frac{1}{2x + 1})\)
- \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{3 – x}{1 – \sqrt{x – 2}}\)
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}{x}\)
- \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{|x – 3|}{x – 3}\)
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{6x + sin 2x}{2x + 3sin 4x}\)
- \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{2x – 5}\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3}{7x^3 + 2x – 1}\)
- \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x – 1}{6x^2 – 5x + \frac{2}{x}}\)
- \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2x – 3}\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + x} \; – x\)
- \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{3}{(x – 2)^2}\)
ดูเฉลยคำตอบ
- \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 – 5}{2x}\)
วิธีทำ
- แทนค่า \(x = 3\) ได้เลย
- \(\begin{align*}
&= \frac{(3)^2 – 5}{2(3)} \\
&= \frac{2}{3} \\
&= \frac{2}{3}
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to -2} \frac{2x + 7}{6x^4 + x – 10}\)
วิธีทำ
- แทนค่า \(x = -2\) ได้เลย
- \(\begin{align*}
&= \frac{2(-2) + 7}{6(-2)^4 \; – 2 \; – 10} \\
&= \frac{1}{28}
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}\)
วิธีทำ
- \(\begin{align*}
\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x \; – 2} &= \lim\limits_{x \to 2} \frac{\cancel{(x \; – 2)}(x + 2)}{\cancel{(x \; – 2)}} \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 2} (x + 2) \\[6pt] &= 2 + 2 \\[6pt] &= 4
\end{align*}\)
- \(\begin{align*}
- \(\lim\limits_{x \to -3} \frac{x^3 – 4x^2 + x + 6}{x + 1}\)
วิธีทำ
- แทนค่า \(x = -3\) ได้เลย
- \(\begin{align*}
&= \frac{(-3)^3 – 4(-3)^2 – 3 + 6}{-3 + 1} \\[6pt] &= \frac{-27 \; – 36 \; – 3 + 6}{-2} \\[6pt] &= 30
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}(\frac{1}{x + 1} – \frac{1}{2x + 1})\)
วิธีทำ
- ทำส่วนในวงเล็บให้เท่ากัน โดยใช้วิธีคูณไขว้
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\biggl[\frac{(2x + 1) \; – (x + 1)}{(x + 1)(2x + 1)}\biggl] \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\cancel{x}}\biggl[\frac{(\cancel{x})}{(x + 1)(2x + 1)}\biggl] \\[6pt] &= \frac{1}{(0 + 1)(2(0) + 1)} \\[6pt] &= 1
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{3 – x}{1 – \sqrt{x – 2}}\)
วิธีทำ
- คูณด้วย conjugate ของพจน์ที่ติดราก
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to 3} \frac{3 \; – x}{1 – \sqrt{x – 2}} \times \biggl(\frac{1 + \sqrt{x \; – 2}}{1 + \sqrt{x \; – 2}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 3} \frac{3 \; – x}{1 – \sqrt{x – 2}} \times \biggl(\frac{1 + \sqrt{x \; – 2}}{1 + \sqrt{x \; – 2}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 3} \frac{\cancel{(3 \; – x)}(1 + \sqrt{x – 2})}{\cancel{(3 \; – x)}} \\[6pt] &= 1 + \sqrt{3 \; – 2} \\[6pt] &= 1 + \sqrt{1} \\[6pt] &= 2
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}{x}\)
วิธีทำ
- คูณด้วย conjugate ของพจน์ที่ติดราก
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} \; – \sqrt{1 – x}}{x} \times \biggl(\frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x})^2 \; – (\sqrt{1 – x})^2}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x})} \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{(1 + x) \; – (1 – x)}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x})} \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x})} \\[6pt] &= \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 – 0}} \\[6pt] &= \frac{2}{2} \\[6pt] &= 1
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{|x – 3|}{x – 3}\)
วิธีทำ
- เจอค่าสัมบูรณ์ ให้แยกคิดเป็น 2 กรณี
- \(\begin{align*}
\lim\limits_{x \to 3^{+}} \frac{|x \; – 3|}{x \; – 3} &= \lim\limits_{x \to 3^{+}} \frac{x \; – 3}{x \; – 3} = 1 \\[6pt] \lim\limits_{x \to 3^{-}} \frac{|x \; – 3|}{x \; – 3} &= \lim\limits_{x \to 3^{-}} \frac{-(x \; – 3)}{x \; – 3} = -1 \\[6pt] \end{align*}\) - เราจะได้ว่า ลิมิตทางซ้ายไม่เท่ากับทางขวา
- \(\therefore \) ไม่มีลิมิตที่ \(x = 3\)
- \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{6x + sin 2x}{2x + 3sin 4x}\)
วิธีทำ
- หารด้วยพจน์ตัวแปรที่มีกำลังสูงที่สุด คือ หารด้วย \(x\)
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to 0} \biggl(\frac{\frac{6x}{x} + \frac{sin (2x)}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac{3sin (4x)}{x}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to 0} \biggl(\frac{6 + \frac{sin (2x)}{x}}{2 + \frac{3sin (4x)}{x}}\biggl) \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to 0} \Bigl(6 + \frac{sin (2x)}{x}\Bigl)}{\lim\limits_{x \to 0} \Bigl(2 + \frac{3sin (4x)}{x}\Bigl)}
\end{align*}\) - เราจะใช้โลปิตาล หาลิมิตของ sin
- \(\begin{align*}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin (2x)}{x} &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\bigl(cos (2x)\bigl)(2)}{1} \\[6pt] &= 2 \lim\limits_{x \to 0} \bigl(cos (2x)\bigl) \\[6pt] &= 2(1) = 2 \\[6pt] \lim\limits_{x \to 0} \frac{3sin (4x)}{x} &= 3 \times \lim\limits_{x \to 0} \frac{\bigl(cos (4x)\bigl)(4)}{1} \\[6pt] &= 12 \lim\limits_{x \to 0} \bigl(cos (4x)\bigl) \\[6pt] &= 12(1) = 12
\end{align*}\) - แทนค่ากลับในสมการแรก
- \(\begin{align*}
&= \frac{\lim\limits_{x \to 0} \bigl(6 + 2\bigl)}{\lim\limits_{x \to 0} \bigl(2 + 12\bigl)} \\[6pt] &= \frac{8}{14} \\[6pt] &= \frac{4}{7}
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{2x – 5}\)
วิธีทำ
- หารด้วยพจน์ตัวแปรที่มีกำลังสูงที่สุด คือ หารด้วย \(x\)
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to \infty} \biggl(\frac{\frac{x^2}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{2x}{x} – \frac{5}{x}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to \infty} \biggl(\frac{x + \frac{3}{x}}{2 \; – \frac{5}{x}}\biggl) \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(x + \frac{3}{x}\Bigl)}{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(2 \; – \frac{5}{x}\Bigl)} \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} (x) + \lim\limits_{x \to \infty} (\frac{3}{x})}{\lim\limits_{x \to \infty} (2) \; – \lim\limits_{x \to \infty} (\frac{5}{x})} \\[6pt] &= \frac{\infty + 0}{2 \; – 0} \\[6pt] &= \infty
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3}{7x^3 + 2x – 1}\)
วิธีทำ
- หารด้วยพจน์ตัวแปรที่มีกำลังสูงที่สุด คือ หารด้วย \(x^3\)
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to -\infty} \biggl(\frac{\frac{x^2}{x^3} + \frac{3}{x^3}}{\frac{7x^3}{x^3} + \frac{2x}{x^3} – \frac{1}{x^3}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to -\infty} \biggl(\frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^3}}{7 + \frac{2}{x^2} – \frac{1}{x^3}}\biggl) \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to -\infty} \Bigl(\frac{1}{x} + \frac{3}{x^3}\Bigl)}{\lim\limits_{x \to -\infty} \Bigl(7 + \frac{2}{x^2} – \frac{1}{x^3}\Bigl)} \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to -\infty} \bigl(\frac{1}{x}\bigl) + \lim\limits_{x \to -\infty} \bigl(\frac{3}{x^3}\bigl)}{\lim\limits_{x \to -\infty} \bigl(7\bigl) + \lim\limits_{x \to -\infty} \bigl(\frac{2}{x^2}\bigl) \; – \lim\limits_{x \to -\infty} \bigl(\frac{1}{x^3}\bigl)} \\[6pt] &= \frac{0 + 0}{7 + 0 \; – 0} \\[6pt] &= 0
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x – 1}{6x^2 – 5x + \frac{2}{x}}\)
วิธีทำ
- หารด้วยพจน์ตัวแปรที่มีกำลังสูงที่สุด คือ หารด้วย \(x^2\)
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to \infty} \biggl(\frac{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} \; – \frac{1}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2} – \frac{5x}{x^2} + \frac{2}{(x)(x^2)}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to \infty} \biggl(\frac{2 + \frac{3}{x} \; – \frac{1}{x^2}}{6 \; – \frac{5}{x} + \frac{2}{x^3}}\biggl) \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(2 + \frac{3}{x} \; – \frac{1}{x^2}\Bigl)}{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(6 \; – \frac{5}{x} + \frac{2}{x^3}\Bigl)} \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \bigl(2\bigl) + \lim\limits_{x \to \infty} \bigl(\frac{3}{x}\bigl) \; – \lim\limits_{x \to \infty} \bigl(\frac{1}{x^2}\bigl)}{\lim\limits_{x \to \infty} \bigl(6\bigl) \; – \lim\limits_{x \to \infty} \bigl(\frac{5}{x}\bigl) + \lim\limits_{x \to \infty} \bigl(\frac{2}{x^3}\bigl)} \\[6pt] &= \frac{2 + 0 \; – 0}{6 \; – 0 + 0} \\[6pt] &= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2x – 3}\)
วิธีทำ
- หารด้วยพจน์ตัวแปรที่มีกำลังสูงที่สุด คือ หารด้วย \(x\)
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to \infty} \biggl(\frac{\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}}{\frac{2x}{x} – \frac{3}{x}}\biggl) \\[6pt] &= \lim\limits_{x \to \infty} \biggl(\frac{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}}}{2 \; – \frac{3}{x}}\biggl) \\[6pt] &= \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\Bigl)}{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(2 \; – \frac{3}{x}\Bigl)} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{x^2}}\Bigl)}{\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(2 \; – \frac{3}{x}\Bigl)} \qquad \text{จาก} \quad \lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a} f(x)}\\[6pt] &= \frac{\sqrt{\lim\limits_{x \to \infty} \bigl(1\bigl) + \lim\limits_{x \to \infty} \bigl(\frac{1}{x^2}}\bigl)}{\lim\limits_{x \to \infty} \bigl(2\bigl) \; – \lim\limits_{x \to \infty} \bigl(\frac{3}{x}\bigl)} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{1 + 0}}{2 \; – 0} \\[6pt] &= \frac{1}{2}
\end{align*}\)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + x} \; – x\)
วิธีทำ
- \(\begin{align*}
&= \lim\limits_{x \to -\infty} \Bigl(\sqrt{x^2 + x}\Bigl) \; – \lim\limits_{x \to -\infty} \Bigl(x\Bigl) \\[6pt] &= \sqrt{\lim\limits_{x \to -\infty} \bigl(x^2 + x}\bigl) \; – (-\infty) \qquad \text{จาก} \quad \lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a} f(x)}\\[6pt] &= \sqrt{\infty} + \infty \qquad \text{จาก} \quad \lim\limits_{x \to \pm\infty} ax^n + \ldots + bx + c = \infty \;\; , a > 0, n \text{ เป็นเลขคู่}\\[6pt] &= \infty + \infty \\[6pt] &= \infty
\end{align*}\)
- \(\begin{align*}
- \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{3}{(x – 2)^2}\)
วิธีทำ
- \(\begin{align*}
\lim\limits_{x \to 2^-} \frac{1}{(x \; – 2)^2} &= \infty \\[6pt] \lim\limits_{x \to 2^+} \frac{1}{(x \; – 2)^2} &= \infty \\[6pt] \therefore \lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{(x \; – 2)^2} &= \infty
\end{align*}\) - \(\begin{align*}
\lim\limits_{x \to 2} \frac{3}{(x \; – 2)^2} &= 3 \biggl(\lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{(x \; – \; 2)^2}\biggl) \\[6pt] &= 3(\infty) \\[6pt] &= \infty
\end{align*}\)
- \(\begin{align*}