การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)

เราสามารถหาคำตอบสมการเชิงเส้น โดยการจัดรูปสมการให้เป็นเมทริกซ์แต่งเติม และใช้การดำเนินการแบบแถวเบื้องต้น เพื่อหาเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดซึ่งสมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติม เราเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) และถ้าเราลดรูปเมทริกซ์แต่งเติมจนได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป ซึ่งเราสามารถอ่านค่าของตัวแปรได้ทันที เราจะเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination)

วิธีการกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)

 ตัวอย่าง  จงจัดรูปเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได

\( \qquad \begin{bmatrix}
0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
2 & 4 & -10 & 6 & 12 & 28 \\
2 & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
\end{bmatrix} \\ \\
\)
  1. หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด

    \( \qquad \begin{bmatrix}
    \bbox[yellow]{0} & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
    \bbox[yellow]{2} & 4 & -10 & 6 & 12 & 28 \\
    \bbox[yellow]{2} & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
    \end{bmatrix}
    \)
  2. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 1 เป็นศูนย์ ให้สลับแถวบนสุดกับแถวใดๆ เพื่อให้เลขในหลักบนสุดไม่เป็นศูนย์

    \( \quad \begin{array}{c}
    R_1 \leftrightarrow R_2 \\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    2 & 4 & -10 & 6 & 12 & 28 \\
    0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
    2 & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
    \end{bmatrix}
    \)
  3. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 1 มีค่า \(a\) ให้คูณแถวแรกด้วยค่า \(1/a\) เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1

    \( \quad \begin{array}{c}
    R_1 \to \frac{1}{2} R_1 \\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2} & \bbox[yellow]{-5} & \bbox[yellow]{3} & \bbox[yellow]{6} & \bbox[yellow]{14} \\
    0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
    2 & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
    \end{bmatrix}
    \)
  4. หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของหลักในข้อ 1 เป็นศูนย์ทั้งหมด

    \( \quad \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    \phantom{1} \\
    R_3 \to -2 R_1 + R_3
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
    0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
    \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{5} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{-17} & \bbox[yellow]{-29}
    \end{bmatrix}
    \)
  5. ในตอนนี้ เราได้ทำแถวแรกเสร็จแล้ว ให้กลับไปเริ่มทำข้อ 1 ใหม่ กับเมทริกซ์ย่อยที่เหลือ (แถวที่ 2 จนถึงแถวสุดท้าย) และทำต่อไปเรื่อยๆจนได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได

    \( \qquad \begin{bmatrix}
    \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
    0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
    0 & 0 & 5 & 0 & -17 & -29
    \end{bmatrix} \\ \\
    \)
    1. หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด (ของเมทริกซ์ย่อย)

      \( \qquad \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{-2} & 0 & 7 & 12 \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{5} & 0 & -17 & -29
      \end{bmatrix}
      \)
    2. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 5.1 มีค่า \(a\) ให้คูณแถวแรก (ของเมทริกซ์ย่อย) ด้วยค่า \(1/a\) เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1

      \( \quad \begin{array}{c}
      \phantom{1} \\
      R_2 \to -\frac{1}{2} R_2 \\
      \phantom{1}
      \end{array} \quad
      \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{-\frac{7}{2}} & \bbox[yellow]{-6} \\
      0 & 0 & 5 & 0 & -17 & -29
      \end{bmatrix}
      \)
    3. หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของหลักในข้อ 5.1 เป็นศูนย์ทั้งหมด

      \( \quad \begin{array}{c}
      \phantom{1} \\
      \phantom{1} \\
      R_3 \to -5 R_2 + R_3
      \end{array} \quad
      \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{\frac{1}{2}} & \bbox[yellow]{1}
      \end{bmatrix}
      \)
    4. ตอนนี้ เราได้ทำ 2 แถวแรกเสร็จแล้ว ให้กลับไปเริ่มทำข้อ 1 ใหม่ กับเมทริกซ์ย่อยที่เหลือ (แถวที่ 3)

      \( \qquad \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{-\frac{7}{2}} & \bbox[cyan]{-6} \\
      0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1
      \end{bmatrix}
      \)
    5. หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด (ของเมทริกซ์ย่อย)

      \( \qquad \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{-\frac{7}{2}} & \bbox[cyan]{-6} \\
      0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{\frac{1}{2}} & 1
      \end{bmatrix}
      \)
    6. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักมีค่า \(a\) ให้คูณแถวแรก (ของเมทริกซ์ย่อย) ด้วยค่า \(1/a\) เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1

      \( \quad \begin{array}{c}
      \phantom{1} \\
      \phantom{1} \\
      R_3 \to 2 R_3
      \end{array} \quad
      \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{-\frac{7}{2}} & \bbox[cyan]{-6} \\
      0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2}
      \end{bmatrix}
      \)
    7. เราได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดแล้ว เราสามารถทำต่อให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูปได้

      \( \qquad \begin{bmatrix}
      1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
      0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \\
      0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
      \end{bmatrix}
      \)

วิธีการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination)

 ตัวอย่าง  จงจัดรูปเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป

\( \qquad \begin{bmatrix}
1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
\)
  1. เริ่มจากแถวล่างสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด และไล่ทำขึ้นมาเรื่อยๆ ให้หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้เลขในหลักที่อยู่บนสมาชิกนำเป็นศูนย์ทั้งหมด

    \( \quad \begin{align*}
    \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    R_2 \to \frac{7}{2} R_3 + R_2 \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    &\begin{bmatrix}
    1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
    \end{bmatrix} \\ \\
    \quad \begin{array}{c}
    R_1 \to -6 R_3 + R_1 \\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    &\begin{bmatrix}
    1 & 2 & -5 & 3 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{2} \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
    \end{bmatrix} \\ \\
    \quad \begin{array}{c}
    R_1 \to 5 R_2 + R_1 \\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    &\begin{bmatrix}
    1 & 2 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{3} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{7} \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
    \end{bmatrix}
    \end{align*}
    \)
  2. เราได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูปแล้ว

    \( \qquad \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 7 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
    \end{bmatrix}
    \)

สรุป

การจัดรูปเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดลดรูป เราเรียกว่า การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination) ซึ่งวิธีนี้ประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรกคือการทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1 และเลขที่อยู่ใต้สมาชิกนำมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด และส่วนที่สองคือการทำให้เลขที่อยู่เหนือสมาชิกนำมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งถ้าเราทำเฉพาะส่วนแรก เราจะได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เราเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)

แบบฝึกหัด

จงหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใช้วิธี Gauss-Jordan elimination

\( \begin{align*}
\qquad x_1 + 3x_2 \; – \; 2x_3 + 2x_5 &= 0 \\
\qquad 2x_1 + 6x_2 \; – \; 5x_3 \; – \; 2x_4 + 4x_5 \; – \; 3x_6 &= -1 \\
\qquad 5x_3 + 10x_4 + 15x_6 &= 5 \\
\qquad 2x_1 + 6x_2 + 8x_4 + 4x_5 + 18x_6 &= 6
\end{align*}
\)
 วิธีทำ 

  1. เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการนี้ คือ

    \( \qquad \begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1 \\
    0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5 \\
    2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6
    \end{bmatrix}
    \)
  2. แถวแรกมีสมาชิกนำเป็น 1 แล้ว เราจะทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของแถวแรก เป็นศูนย์ทั้งหมด

    \( \quad \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    R_2 \to -2 R_1 + R_2 \\
    \phantom{1} \\
    R_4 \to -2 R_1 + R_4
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
    \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{-1} & \bbox[yellow]{-2} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{-3} & \bbox[yellow]{-1} \\
    0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5 \\
    \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{4} & \bbox[yellow]{8} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{18} & \bbox[yellow]{6}
    \end{bmatrix}
    \)
  3. ทำให้สมาชิกนำของแถวที่สองเป็น 1

    \( \quad \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    R_2 \to -1 R_2 \\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
    \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{3} & \bbox[yellow]{1} \\
    0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5 \\
    0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6
    \end{bmatrix}
    \)
  4. ทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของแถวที่สอง เป็นศูนย์ทั้งหมด

    \( \quad \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    \phantom{1} \\
    R_3 \to -5 R_2 + R_3 \\
    R_4 \to -4 R_2 + R_4
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\
    0 & 0 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} \\
    0 & 0 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{6} & \bbox[yellow]{2}
    \end{bmatrix}
    \)
  5. สลับแถวระหว่างแถวที่ 3 และแถวที่ 4

    \( \quad \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    \phantom{1} \\
    R_3 \leftrightarrow R_4 \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{6} & \bbox[yellow]{2} \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{bmatrix}
    \)
  6. ทำให้สมาชิกนำของแถวที่สามเป็น 1 เราจะได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดแล้ว

    \( \quad \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    \phantom{1} \\
    R_3 \to \frac{1}{6} R_3 \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{\frac{1}{3}} \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{bmatrix}
    \)
  7. ทำให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูปโดยทำให้เลขในหลักที่อยู่บนสมาชิกนำเป็นศูนย์ทั้งหมด

    \( \begin{align*}
    \quad \begin{array}{c}
    \phantom{1} \\
    R_2 \to -3 R_3 + R_2\\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    &\begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & 2 & 0 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{bmatrix} \\ \\
    \quad \begin{array}{c}
    R_1 \to 2 R_2 + R_1\\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1} \\
    \phantom{1}
    \end{array} \quad
    &\begin{bmatrix}
    1 & 3 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{4} & \bbox[yellow]{2} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} \\
    0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{bmatrix}
    \end{align*}
    \)
  8. แทนค่าย้อนกลับเป็นระบบสมการ เราจะได้

    \( \begin{array}{ccccccc}
    \qquad x_1 & + \; 3x_2 & & + \; 4x_4 & + \; 2x_5 & & = 0 \\
    \qquad & & x_3 & + \; 2x_4 & & & = 0 \\
    \qquad & & & & & x_6 & = \frac{1}{3}
    \end{array}
    \)

    และให้ \(x_2, x_4, x_5\) เป็นตัวแปรอิสระ เราจะได้

    \( \begin{align*}
    \qquad x_1 &= -3x_2 \; – \; 4x_4 \; – \; 2x_5 \\[12pt] \qquad x_3 &= -2x_4 \\[12pt] \qquad x_6 &= \frac{1}{3}
    \end{align*}
    \)

Leave a Reply

Thumbnails managed by ThumbPress