ข้อสอบ PAT1 มีนาคม 2560

ตอนที่ 1  แบบปรนัย 5 ตัวเลือก จำนวน 30 ข้อ (ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน

1. ให้ $\ A,\ B \ $ และ $\ C \ $ เป็นเซตใดๆ
   พิจารณาข้อความต่อไปนี้
   $\quad (ก)\;\;$ ถ้า $\; A-B = \varnothing \ $ แล้ว $\; A = B$
   $\quad (ข)\;\;$ ถ้า $\; C-(A \cap B) = C-B \ $ แล้ว $\; A \subset B$
   $\quad (ค)\;\; A \cap B \cap C = [\left(A \cup B\right) \cap C] \cap [\left(A \cap B\right) \cup C]$
   ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
   1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ข้อ (ค) ผิด
   2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด
   3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ก) ผิด
   4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
   5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
2. จากการสำรวจนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน $\ 80 \ $ คน เกี่ยวกับการเป็นสมาชิกของชมรม $\ 3 \ $ ชมรม คือ ชมรมคณิตศาสตร์ ชมรมการแสดง และชมรมกีฬา ปรากฏว่ามี $\ 30\ $ คน เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ โดยในจำนวนนี้มีนักเรียน $\ 20\ $ คนเท่านั้นที่เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์เพียงชมรมเดียว มี $\ 5\ $ คนที่เป็นสมาชิกของชมรมการแสดงและชมรมกีฬา แต่ไม่เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ และมี $\ 10\ $ คนที่ไม่เป็นสมาชิกของชมรมใดเลย
   พิจารณาข้อความต่อไปนี้
   $\quad (ก)\;\;$ มี $\ 15\ $ คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมอย่างน้อย $\ 2\ $ ชมรม
   $\quad (ข)\;\;$ มี $\ 55\ $ คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมใดชมรมหนึ่งเพียง $\ 1\ $ ชมรมเท่านั้น
   $\quad (ค)\;\;$ มี $\ 50\ $ คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมการแสดงหรือชมรมกีฬา
   ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
   1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ข้อ (ค) ผิด
   2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด
   3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ก) ผิด
   4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
   5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
3. กำหนดให้ $\ p,\ q \ $ และ $\ r \ $ เป็นประพจน์โดยที่ $\; [p \rightarrow (q \rightarrow \sim r)] \land q \;$ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
   ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
   1. $\left(p \land q\right) \leftrightarrow \left(p \land r\right)\;$
   2. $\left(p \lor q\right) \leftrightarrow \left(p \land r\right) \;$
   3. $\left(p \rightarrow q\right) \leftrightarrow \left(p \lor r\right) \;$
   4. $q \rightarrow \left(\sim p \land r\right) \;$
   5. $\sim \left(p \land q\right) \rightarrow \left(q \ \land \sim r\right) \;$
4. ค่าของ $\; 2\left(\arctan \frac{1}{8} – \arctan \frac{2}{3} \right) \ $ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
   1. $\arcsin \frac{4}{5}$
   2. $-\arcsin \frac{4}{5}$
   3. $\pi – \arcsin \frac{4}{5}$
   4. $– \arctan \frac{3}{4}$
   5. $\pi – \arctan \frac{3}{4}$
5. กำหนดให้ $\; a = \cos 50^{\circ} + \cos 20^{\circ} \ $ และ $\; b = \sin 50^{\circ} – \sin 20^{\circ} \ $
   ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
   1. $\sin 20^{\circ} = \frac{a^2 + b^2}{2}$
   2. $\sin^2 35^{\circ} = \frac{a^2 + b^2}{4}$
   3. $\cos^2 35^{\circ} = ab$
   4. $\tan^2 35^{\circ} = \frac{a^2 + b^2}{4ab}$
   5. $\cos 70^{\circ} = (a + b)^2 -1$
6. ให้ $\ \vec{u}, \vec{v} \ $ และ $\ \vec{w} \ $ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์อยู่บนระนาบเดียวกัน โดยที่ $\ \vec{u} – \vec{v} – \vec{w} = 0\ ,\ |\vec{u}| = \sqrt 2|\vec{w}| \ $ และ $\; |\vec{v}| = \sqrt 3|\vec{w}|$
   ถ้า $\ \theta\ $ เป็นมุมระหว่าง $\ \vec{u}\ $ และ $\ \vec{v}\ $ แล้ว $\ \sin \theta\ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
   1. $\frac{1}{2}$
   2. $\frac{\sqrt 3}{2}$
   3. $\frac{\sqrt 3}{3}$
   4. $\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}$
   5. $\frac{1}{3}$
7. กำหนดให้ $\; 0 \lt \theta \lt 90^{\circ}$
   ถ้า $\; m = \frac{1}{4}\left(1+\sin \theta\right)\cot \theta \ $ และ $\; n = \frac{1}{4}\left(1-\sin \theta\right)\cot \theta$
   พิจารณาข้อความต่อไปนี้
   $\quad (ก)\;\; \left(m^2-n^2\right)^2 = mn$
   $\quad (ข)\;\; \sin \theta = \frac{m-n}{m+n}$
   $\quad (ค)\;\; m^2+n^2 = \frac{1}{8}\cot^2 \theta \cos^2 \theta$
   ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
   1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ข้อ (ค) ผิด
   2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด
   3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ก) ผิด
   4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
   5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
8. ให้ $\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ldots,\ x_{10} \ $ เป็นข้อมูลที่เรียงค่าจากน้อยไปหามาก โดยมีค่ากึ่งกลางพิสัยเท่ากับ $\ 15 \ $ และให้ $\; y_i = \frac{1}{2}\left(x_i+x_{i+1}\right) \ $ สำหรับ $\; i=1,\ 2,\ 3,\ldots,\ 9$
   ถ้า $\; y_1,\ y_2,\ y_3,\ldots,\ y_9 \ $ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $\ \frac{55}{3} \ $ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $\ x_1+1,\ x_2+2,\ x_3+3,\ldots,\ x_{10}+10 \ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
   1. $23.5$
   2. $28$
   3. $29$
   4. $\frac{88}{3}$
   5. $\frac{100}{3}$
9. ให้ $\ L\ $ เป็นจำนวนจริงบวก และ $\; a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots,\ a_{n},\ldots \ $ เป็นลำดับเรขาคณิตของจำนวนจริง โดยที่ $\; \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = L \ $ และ $\; \sum\limits_{n=1}^{3} a_n = \frac{L}{3} \ $
   ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
   1. $a_4 = \frac{2}{3}a_1$
   2. $a_{14} = \frac{16}{81}a_2$
   3. $3(a_7+a_8+a_9) = 2(a_4+a_5+a_6)$
   4. $\sum\limits_{n=7}^{12} a_n = \frac{16}{81}L$
   5. $\sum\limits_{n=10}^{\infty} a_n = \frac{8}{27}L$
10. ให้ $\ C \ $ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม $\; x^2+y^2-2ky=0 \ $ เมื่อ $\; k \gt 0 \ $
    ให้ $\ T \ $ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $\ A(-5,4) \ $ และสัมผัสวงกลมที่จุด $\ B\ $ โดยระยะห่างระหว่างจุด $\ A\ $ และจุด $\ B\ $ เท่ากับ $\ 1\ $ หน่วย
    ถ้า $\ H \ $ เป็นไฮเพอร์โบลา มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $\ C\ $ แกนสังยุคยาว $\ 2k\ $ หน่วย และขนานกับแกน $\ x\ $ และเส้นกำกับเส้นหนึ่งผ่านจุด $\ A\ $ และจุด $\ C\ $
    แล้วสมการของพาราโบลา $\ H\ $ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
    1. $x^2 – 25y^2 + 250y – 600 = 0$
    2. $x^2 – 25y^2 – 250y + 624 = 0$
    3. $x^2 – 25y^2 – 250y + 650 = 0$
    4. $25x^2 – y^2 + 10y + 50 = 0$
    5. $25x^2 – y^2 + 10y – 50 = 0$
11. ให้ $\; x \gt 0 \ $ และให้ $\ S \ $ แทนอนุกรม $\; \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}(\log x)^n$
    พิจารณาข้อความต่อไปนี้
    $\quad (ก)\;\;$ ถ้า $\ x \lt 10 \ $ แล้วอนุกรม $\ S\ $ เป็นอนุกรมลู่เข้า
    $\quad (ข)\;\;$ ถ้า $\ x = 100 \ $ แล้วอนุกรม $\ S\ $ เป็นอนุกรมลู่ออก
    $\quad (ค)\;\;$ ถ้า $\ x = \frac{1}{10} \ $ แล้วผลบวก $\ 100\ $ พจน์แรกของอนุกรม $\ S\ $ เท่ากับ $\ -100\ $
    ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
    1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ข้อ (ค) ผิด
    2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด
    3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ก) ผิด
    4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
    5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
12. กล่องใบหนึ่งมีบัตร 7 ใบ แต่ละใบเขียนจำนวน $\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \ $ กำกับบนบัตรใบละ $\ 1\ $ จำนวน สุ่มหยิบบัตร $\ 2 \ $ ใบพร้อมกันจากกล่องใบนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้บัตร $\ 2 \ $ ใบ มีผลรวมของจำนวนบนบัตรทั้งสองเป็นจำนวนคู่ หรือเป็นจำนวนเต็มบวก เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $\frac{2}{7}$
    2. $\frac{3}{7}$
    3. $\frac{4}{7}$
    4. $\frac{5}{7}$
    5. $\frac{6}{7}$
13. กำหนดให้ $\ ABC\ $ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมี $\ A,\ B \ $ และ $\ C\ $ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
    ให้ $\ \vec{a} = \overrightarrow{AB} \ , \; \vec{b} = \overrightarrow{BC} \ $ และ $\; \vec{c} = \overrightarrow{CA} \quad$ ถ้า $\; \vec{a} \cdot \vec{b} = -15\ ,\; \vec{b} \cdot \vec{c} = -21 \ $ และ $\; \vec{c} \cdot \vec{a} = -10$
    แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $\ ABC \ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $7\sqrt 2 \ $ ตารางหน่วย
    2. $8\sqrt 2 \ $ ตารางหน่วย
    3. $\frac{15\sqrt 2}{2} \ $ ตารางหน่วย
    4. $5\sqrt 3 \ $ ตารางหน่วย
    5. $\frac{15\sqrt 3}{2} \ $ ตารางหน่วย
14. กำหนดให้ข้อมูลชุดที่ $\ 1\ $ คือ $\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ldots,\ x_{10} \ $ และข้อมูลชุดที่ $\ 2\ $ คือ $\ y_1,\ y_2,\ y_3,\ldots,\ y_{10} \ $ โดยที่ $\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ldots,\ x_{10} \ $ เป็นจำนวนจริงบวก และ $\ y_i = 2x_i+1 \ $ เมื่อ $\; i=1,\ 2,\ 3,\ldots,\ 10 \ $
    พิจารณาข้อความต่อไปนี้
    $\quad (ก)\;\;$ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ $\ 2\ $ มีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ $\ 1\ $
    $\quad (ข)\;\;$ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดที่ $\ 2\ $ มีค่าน้อยกว่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดที่ $\ 1\ $
    $\quad (ค)\;\;$ ถ้าแต่ละ $\ x_i\ $ มีค่าเพิ่มขึ้น $\ 1\ $ หน่วย แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ $\ 2\ $ มีค่าเพิ่มขึ้น
    ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
    1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ข้อ (ค) ผิด
    2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด
    3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ก) ผิด
    4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
    5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
15. กำหนดให้ $\ A\ $ และ $\ B\ $ เป็น $\ n \times n \ $ เมทริกซ์ เมื่อ $\ n \ $ เป็นจำนวนเต็มบวก
    พิจารณาข้อความต่อไปนี้
    $\quad (ก)\;\; det(AB-BA) = 0$
    $\quad (ข)\;\;$ ถ้า $\ det A \neq 0 \ $ และ $\; det B = 0 \ $ แล้ว $\; det(A+B) \neq 0$
    $\quad (ค)\;\;$ ถ้า $\ det A \neq 0 \ , \; det B \neq 0 \ $ และเมทริกซ์ $\; A+B \ $ มีอินเวอร์สการคูณ แล้ว $\; (A+B)^{-1} = B^{-1} + A^{-1}$
    ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
    1. ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว
    2. ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
    3. ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว
    4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
    5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
16. ให้ $\ P \ $ เป็นพาราโบลารูปหนึ่ง มีโฟกัสอยู่บนเส้นตรง $\; x+2y = 4 \ $ และสมการของแกนสมมาตรคือ $\; y=3 \ $
    ถ้า $\ P \ $ มีเส้นไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรงเดียวกันกับเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา $\; y^2+8y-24x+16 = 0 \ $ แล้วพาราโบลา $\ P \ $ ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้
    1. $(-7,1)$
    2. $(-4,0)$
    3. $(1,-1)$
    4. $(2,-4)$
    5. $(4,-5)$
17. ให้ $\ a,\ b \ $ และ $\ c \ $ เป็นจำนวนจริง ถ้ากราฟของ $\; f(x) = ax^2+bx+c \ $ ผ่านจุด $\ (0,1) \ ,\ (1,3) \ $ และจุด $\ (2,2) \ $ แล้วพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $\ y = f(x) \ $ และเส้นตรง $\ y = x \ $ จาก $\ x=0 \ $ ถึง $\ x=2 \ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $\frac{5}{2} \ $ ตารางหน่วย
    2. $\frac{8}{3} \ $ ตารางหน่วย
    3. $3 \ $ ตารางหน่วย
    4. $\frac{7}{2}$ ตารางหน่วย
    5. $5 \ $ ตารางหน่วย
18. ถ้า $\ A \ $ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $\; x^2+2|x-3|-9 \gt 0 \ $ และ $\ B \ $ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $\; |x-3| \lt 2 \ $
    แล้ว $\ A \cap B \ $ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
    1. $(4, \infty)$
    2. $(-\infty, 1)$
    3. $(-1, 3)$
    4. $(3, 6)$
    5. $(0, 4)$
19. กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ $\{-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\}$
    ให้ $\ P(x) \ $ แทน $\ |x| \ge x$
    และ $\ Q(x) \ $ แทน $\ |x| \lt |x+1|+1$
    พิจารณาข้อความต่อไปนี้
    $\quad (ก)\;\;$ ประพจน์ $\; \exists x\left[\sim Q(x)\right] \rightarrow \exists x\left[\sim P(x)\right] \ $ มีค่าความจริงเป็นจริง
    $\quad (ข)\;\;$ ประพจน์ $\; \forall x\left[P(x)\right] \rightarrow \forall x\left[\sim Q(x)\right] \ $ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
    $\quad (ค)\;\;$ ประพจน์ $\; \exists x\left[P(x)\right] \rightarrow \exists x\left[Q(x)\right] \ $ มีค่าความจริงเป็นจริง
    1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ข้อ (ค) ผิด
    2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด
    3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ก) ผิด
    4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
    5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
20. ถ้าคะแนนสอบวิชาหนึ่งของนักเรียนจำนวน $\ 80 \ $ คน มีการแจกแจงปกติ และมีสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เท่ากับ $\ \frac{1}{3} \ $
    มีนักเรียนคนหนึ่งในห้องนี้สอบได้คะแนน $\ 39 \ $ คะแนน คิดเเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ $\ 1.5 \ $ และมีนักเรียนจำนวน $\ 60 \ $ คนที่มีคะแนนสอบมากกว่า $\ 15 \ $ คะแนน
    แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $9.5 \ $ คะแนน
    2. $10 \ $ คะแนน
    3. $10.5 \ $ คะแนน
    4. $11 \ $ คะแนน
    5. $11.5 \ $ คะแนน
21. กำหนดให้ $\ R \ $ เป็นเซตของจำนวนจริง
    ให้ $\; r = \left\{(x,y) \in R \times R \ | \ y = \sqrt{32x-16x^2}\right\}$
    ถ้า $\ A \ $ และ $\ B \ $ เป็นโดเมนและเรนจ์ของ $\ r \ $ ตามลำดับ แล้ว $\ B-A \ $ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
    1. $(-1, 2)$
    2. $(0, 3)$
    3. $(1, 4)$
    4. $(2, 6)$
    5. $(3, \infty)$
22. ถ้า $\ A \ $ เป็นเซตคำตอบของอสมการ
    $\quad \left(x^2-2x-16\right)\log_2 (2-\sqrt {3}) \lt \log_2\left(2+\sqrt {3}\right) \ $
    แล้ว $\ A \ $ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
    1. $(-\infty, -3) \cup (4,\infty)$
    2. $(-\infty, -4) \cup (3,\infty)$
    3. $(-4, 3)$
    4. $(-3, 6)$
    5. $(-1, 9)$
23. กำหนดให้ $\ R\ $ แทนเซตของจำนวนจริง
    ให้ $\; f: R \rightarrow R \ $ และ $\; g: R \rightarrow R \ $ เป็นฟังก์ชัน มีนิยามโดย $\; f(x) = |x-1|+|x+1| \ $ และ $\; g(x) = \frac{x}{x^2+1} \ $ สำหรับทุกจำนวนจริง $\ x\ $
    ถ้า $\ a\ $ และ $\ b\ $ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $\; a+b=1\ $ แล้ว $\; (g \circ f)(a) + (f \circ g)(b) \ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $1.4$
    2. $1.8$
    3. $2.4$
    4. $2.8$
    5. $3.4$
24. ถ้า $\ x\ $ และ $\ y\ $ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ
    $\quad 3^{(8-2x)}4^{(x+y)}=384(9^y) \;$ และ $\; 5^{(3x-2y-3)}=1 \ $
    แล้วค่าของ $\ xy\ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $2$
    2. $3$
    3. $3.5$
    4. $5$
    5. $7.5$
25. กำหนดให้ $\ I\ $ แทนเซตของจำนวนเต็ม และ $\ R\ $ แทนเซตของจำนวนจริง สำหรับจำนวนจริง $\ x\ $ ใดๆ
    นิยาม $\; [x] \ $ หมายถึง จำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดของเซต $\; \left\{n \in I \ |\ n \leq x\right\} \ $
    ถ้า $\; f: R \rightarrow R \ $ เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย
    $\quad f(x)=10\left[\frac{x+5}{10}\right]+\left[x+\frac{1}{2}\right]+\frac{1}{10}\left[5-6x\right] \;$ เมื่อ $\; x \in R \ $
    แล้วค่าของ $\; f(2.4) \ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $3.2$
    2. $2.1$
    3. $2$
    4. $1.1$
    5. $1$
26. ให้ $\ A\ $ เป็นเซตของจำนวนจริง $\ x\ $ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ
    $\quad \sqrt {6x-2} – \sqrt {2x+7} = 1 \ $
    ผลบวกของกำลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต $\ A\ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $10.5$
    2. $14.25$
    3. $20.25$
    4. $21.25$
    5. $30.5$
27. ให้ $\ R_1,\ R_2,\ R_3,\ R_4,\ R_5 \ $ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก $\ 5\ $ รูป มีข้อมูลดังนี้
    

    	$R_1$	$R_2$	$R_3$	$R_4$	$R_5$
    ความกว้าง $\ (x)\ $	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$
    ความยาว $\ (y)\ $	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$y_4$	$y_5$

    โดยที่ $\; 0 \lt x_i \le 10 \ $ สำหรับ $\; i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$
    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความกว้างของรูปสี่เหลี่ยม $\ 5\ $ รูป เท่ากับ $\ 5\ $ หน่วย
    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของรูปสี่เหลี่ยม $\ 5\ $ รูป เท่ากับ $\ 8\ $ หน่วย
    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม $\ 5\ $ รูป เท่ากับ $\ 51.8\ $ ตารางหน่วย และความแปรปรวนของความกว้างเท่ากับ $\ 12\ $
    สมมติว่ากราฟแผนภาพการกระจายที่แสดงความสัมพันธ์ความกว้างและความยาว อยู่ในรูปแบบเส้นตรง ถ้าสร้างรูปสี่เหลี่ยมมีความกว้าง $\ 2\ $ หน่วย แล้วความยาว (โดยประมาณ) ของรูปสี่เหลี่ยมนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $5.05 \ $ หน่วย
    2. $5.55 \ $ หน่วย
    3. $5.75 \ $ หน่วย
    4. $6.05 \ $ หน่วย
    5. $6.55 \ $ หน่วย
28. นิยาม $\; a \ast b=1+ab \ $ สำหรับ $\ a\ $ และ $\ b\ $ เป็นจำนวนเต็มใดๆ
    พิจารณาข้อความต่อไปนี้
    $\quad (ก)\;\; a \ast(1 \ast a) = (a \ast 1)\ast a \ $ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $\ a\ $
    $\quad (ข)\;\; a \ast(b \ast c) = (a \ast b)\ast c \ $ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $\ a,b\ $ และ $\ c \ $
    $\quad (ค)\;\; (((1 \ast 2)\ast 3)\ast 4)$ เป็นจำนวนเฉพาะ
    1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ข้อ (ค) ผิด
    2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด
    3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ข้อ (ก) ผิด
    4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
    5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
29. ให้ $\ x,y\ $ และ $\ z\ $ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $\; x+y+z=15 \ $ และสอดคล้องกับ $\; (z+1)^x=y^{2x} \ $ และ $\; (0.1)^z = (0.01)^x \ $
    ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
    1. $x \lt y \lt z$
    2. $y \lt x \lt z$
    3. $x \lt z \lt y$
    4. $y \lt z \lt x$
    5. $z \lt y \lt x$
30. กำหนดให้เส้นตรง $\ L\ $ ผ่านจุด $\ A(2,0)\ $ และจุด $\ B(-4,8)\ $
    ให้เส้นตรง $\ M\ $ ผ่านจุด $\ B\ $ และจุด $\ C(-a,0) \ $ เมื่อ $\ a \gt 0\ $
    ถ้าระยะห่างระหว่างจุด $\ C\ $ กับเส้นตรง $\ L\ $ เท่ากับ $\ \frac{48}{5}\ $ หน่วย แล้วระยะห่างระหว่างจุดกำเนิด $\ (0,0)\ $ กับเส้นตรง $\ M\ $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
    1. $7 \ $ หน่วย
    2. $8 \ $ หน่วย
    3. $10.5 \ $ หน่วย
    4. $13.5 \ $ หน่วย
    5. $15 \ $ หน่วย

ตอนที่ 2  แบบอัตนัย ระบายคำตอบที่เป็นตัวเลข จำนวน 15 ข้อ(ข้อ 31 – 45) ข้อละ 8 คะแนน

31. ให้ $\ A \ $ เป็นเซตของจำนวนจริง $\ x\ $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ
    $\quad \log_2 x+\log_3 x \ge \left(\log_2 x\right)\left(\log_3 x\right)$
    และให้ $\ a\ $ เป็นขอบเขตล่างมากที่สุดของเซต $\; A \cap [0,9] \ $
      ให้ $\ b\ $ เป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดของเซต $\; A \cap [0,9] \ $
    ค่าของ $\; a+b \ $ เท่ากับเท่าใด
32. ลูกแก้วขนาดเดียวกัน $\ 7\ $ ลูก เป็นลูกแก้วสีแดง $\ 2\ $ ลูก ลูกแก้วสีเขียว $\ 2\ $ ลูก และลูกแก้วสีขาว $\ 3\ $ ลูก ต้องการจัดเรียงลูกแก้วทั้ง $\ 7\ $ ลูกเป็นแถวตรง โดยที่ลูกแก้วสองลูกใดๆที่เรียงติดกันมีสีแตกต่างกัน จำนวนวิธีการจัดเรียงลูกแก้วดังกล่าว เท่ากับเท่าใด
33. กำหนดให้ $\; f(x)=2x+5 \ $ และ $\; g(x)=ax^2+bx+c \ $ เมื่อ $\ a,b \ $ และ $\ c\ $ เป็นจำนวนจริง
    ถ้า $\; (f^{-1}\circ g)(0)=2\ \; , \; \int\limits_{0}^{1} f^{-1}\left(g(x)\right)dx \;$ และ $\; (f^{-1}\circ g)(x) \ $ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ $\ x=1 \ $
    แล้วค่าของ $\; g(1) \ $ เท่ากับเท่าใด
34. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงความถี่ ดังนี้
    

    ช่วงคะแนน	จำนวนนักเรียน
    $66 – 70$	$2$
    $71 – 75$	$3$
    $76 – 80$	$a$
    $81 – 85$	$5$
    $86 – 90$	$7$
    $91 – 95$	$b$
    $96 – 100$	$8$

    เมื่อ $\ a\ $ และ $\ b\ $ เป็นจำนวนเต็มบวก
    ถ้าเปอร์เซนไทล์ที่ $\ 25\ $ ของคะแนนสอบนี้เท่ากับ $\ 80.5\ $ คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เท่ากับ $\ 7.5\ $
    แล้วจำนวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า $\ 80\ $ คะแนนเท่ากับเท่าใด
35. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนน้อยกว่า $\ 74\ $ คะแนน มีจำนวนคิดเป็นร้อยละ $\ 97.73\ $ และนักเรียนที่สอบได้คะแนน $\ 53\ $ คะแนน จะตรงกับเปอร์เซนไทล์ที่ $\ 6.68\ $ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มนี้เท่ากับเท่าใด
    กำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง $\ 0\ $ ถึง $\ z\ $ ดังนี้
    

    $z$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$
    พื้นที่	$0.1915$	$0.3413$	$0.4332$	$0.4773$	$0.4938$

36. กำหนดให้ $\ I\ $ เป็นเซตของจำนวนเต็ม
    ให้ $\; f: I \rightarrow I \ $ เป็นฟังก์ชัน โดยที่
    $$\begin{align*} f(n) & = \begin{cases} \left(f \circ f\right)(n-4) & ,\quad \text{n \( \gt \) 60} \\[1ex] n+3 & ,\quad \text{n \( \leq \) 60} \end{cases} \end{align*}$$
    ค่าของ $\; f(f(f(60))) \ $ เท่ากับเท่าใด
37. กำหนดให้ $\; AX = B \ $ เป็นสมการเมทริกซ์ โดยที่
    $$\begin{align*} A = \left| \begin{array}{ccc} 1&-2&2\\ b&-a&0\\ 3&-1&-1 \end{array} \right| \quad X = \left| \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right| \quad และ \quad B = \left| \begin{array}{c} 9\\ a\\ -10 \end{array} \right| \end{align*}$$
    เมื่อ $\ a\ $ และ $\ b\ $ เป็นจำนวนจริง ถ้า $\; det A = 15 \ $ และ $\; y=1 \ $ เป็นคำตอบของระบบสมการนี้ แล้ว $\; (a-b)^2 \ $ มีค่าเท่ากับเท่าใด
38. ค่าของ $\displaystyle \; \lim_{x\rightarrow 3} \frac{3^x x – 3^{(x+1)}}{\sqrt[3] {x-2}-1} \;$ เท่ากับเท่าใด
39. กำหนดให้ $\ z \ $ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ $\; (1+i)\vec{z}+(3-i)z = 6+2i \;$ เมื่อ $\; i^2 = -1 \ $ และ $\ \vec{z} \ $ แทนสังยุค (conjugate) ของ $\ z\ $
    ค่าของ $\; \left|(z-\vec{z})(z+\vec{z})\right| \ $ เท่ากับเท่าใด
40. กำหนดให้ $\; a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots,\ a_n,\ldots \ $ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก โดยที่ $\; a_1 = 1 \;$ และ $\; a_8 = 36 \ $
    ถ้า $\; \frac{1}{\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}}+\frac{1}{\sqrt {a_2}+\sqrt {a_3}}+\frac{1}{\sqrt {a_3}+\sqrt {a_4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt {a_{n-1}}+\sqrt {a_n}}=3 \;$ แล้ว $\ n\ $ เท่ากับเท่าใด
41. กำหนดให้ $\ a\ $ เป็นจำนวนจริง และ
    $$\begin{align*} f(x) & = \begin{cases} x+\sqrt {x^2+5} & ,\quad \text{x \( \ge \) a} \\[1ex] \frac{15}{\sqrt {x^2+5}} & ,\quad \text{x \( \lt \) a} \end{cases} \end{align*}$$
    ถ้าฟังก์ชัน $\ f\ $ มีความต่อเนื่องทุกจำนวนจริง $\ x\ $ แล้วค่าของ $\; f(a)+f(-a) \ $ เท่ากับเท่าใด
42. ถ้า $\; 2\sin^2 \theta = 3\cos \theta \;$ เมื่อ $\; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \ $
    แล้วค่าของ $\; \mathrm{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \cos^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\mathrm{cosec} 2\theta} \ $ เท่ากับเท่าใด
43. ให้ $\ A\ $ เป็นเซตของจำนวนจริง $\ x\ $ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ $\; 4^x-4\left(4^{\sqrt x}\right)=3\left(2^{x+\sqrt x}\right) \ $
    ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $\ A\ $ เท่ากับเท่าใด
44. ผลการสำรวจกลุ่มคนจำนวน $\ 120\ $ คน เกี่ยวกับสายตาปกติและสายตาสั้น พบว่า อัตราส่วนของจำนวนคนที่มีสายตาปกติต่อจำนวนคนที่มีสายตาสั้น เป็น $\ 3:2 \ $ ในกลุ่มคนที่มีสายตาปกติ มีอัตราส่วนจำนวนผู้หญิงต่อจำนวนผู้ชาย เป็น $\ 5:1 \ $ ในกลุ่มคนที่มีสายตาสั้น มีอัตราส่วนของจำนวนเด็กต่อจำนวนผู้ใหญ่ เป็น $\ 1:3 \ $ ผลรวมของจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาปกติและจำนวนเด็กที่มีสายตาสั้นเท่ากับเท่าใด
45. ให้ $\ a\ $ และ $\ b\ $ เป็นจำนวนจริงบวก
    กำหนดให้ $\; P=ax-15y \ $ เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจำกัดดังนี้
    $\quad 3x+by \ge 9$
    $\quad 3x+2by \leq 18$
    $\quad 1 \leq x \leq 5 \;$ และ $\; y \ge 0$
    ถ้าค่าของ $\ P\ $ มีค่าน้อยที่สุด เท่ากับ $\ -8.25\ $ และค่าของ $\ P\ $ มีค่ามากที่สุด เท่ากับ $\ 15\ $ แล้วค่าของ $\; a^2+b^2 \ $ เท่ากับเท่าใด

Answer

ตอนที่ 1

ตอนที่ 2