การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)

เราสามารถหาคำตอบสมการเชิงเส้น โดยการจัดรูปสมการให้เป็นเมทริกซ์แต่งเติม และใช้การดำเนินการแบบแถวเบื้องต้น เพื่อหาเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดซึ่งสมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติม เราเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) และถ้าเราลดรูปเมทริกซ์แต่งเติมจนได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป ซึ่งเราสามารถอ่านค่าของตัวแปรได้ทันที เราจะเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination)

วิธีการกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)

 ตัวอย่าง  จงจัดรูปเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได

\( \qquad \begin{bmatrix}
0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
2 & 4 & -10 & 6 & 12 & 28 \\
2 & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
\end{bmatrix} \\ \\
\)

1. หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด
   \( \qquad \begin{bmatrix}
   \bbox[yellow]{0} & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
   \bbox[yellow]{2} & 4 & -10 & 6 & 12 & 28 \\
   \bbox[yellow]{2} & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
   \end{bmatrix}
   \)
2. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 1 เป็นศูนย์ ให้สลับแถวบนสุดกับแถวใดๆ เพื่อให้เลขในหลักบนสุดไม่เป็นศูนย์
   \( \quad \begin{array}{c}
   R_1 \leftrightarrow R_2 \\
   \phantom{1} \\
   \phantom{1}
   \end{array} \quad
   \begin{bmatrix}
   2 & 4 & -10 & 6 & 12 & 28 \\
   0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
   2 & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
   \end{bmatrix}
   \)
3. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 1 มีค่า \(a\) ให้คูณแถวแรกด้วยค่า \(1/a\) เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1
   \( \quad \begin{array}{c}
   R_1 \to \frac{1}{2} R_1 \\
   \phantom{1} \\
   \phantom{1}
   \end{array} \quad
   \begin{bmatrix}
   \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2} & \bbox[yellow]{-5} & \bbox[yellow]{3} & \bbox[yellow]{6} & \bbox[yellow]{14} \\
   0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
   2 & 4 & -5 & 6 & -5 & -1
   \end{bmatrix}
   \)
4. หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของหลักในข้อ 1 เป็นศูนย์ทั้งหมด
   \( \quad \begin{array}{c}
   \phantom{1} \\
   \phantom{1} \\
   R_3 \to -2 R_1 + R_3
   \end{array} \quad
   \begin{bmatrix}
   1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
   0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
   \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{5} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{-17} & \bbox[yellow]{-29}
   \end{bmatrix}
   \)
5. ในตอนนี้ เราได้ทำแถวแรกเสร็จแล้ว ให้กลับไปเริ่มทำข้อ 1 ใหม่ กับเมทริกซ์ย่อยที่เหลือ (แถวที่ 2 จนถึงแถวสุดท้าย) และทำต่อไปเรื่อยๆจนได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได
   \( \qquad \begin{bmatrix}
   \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
   0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12 \\
   0 & 0 & 5 & 0 & -17 & -29
   \end{bmatrix} \\ \\
   \)
   1. หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด (ของเมทริกซ์ย่อย)
      \( \qquad \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{-2} & 0 & 7 & 12 \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{5} & 0 & -17 & -29
      \end{bmatrix}
      \)
   2. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 5.1 มีค่า \(a\) ให้คูณแถวแรก (ของเมทริกซ์ย่อย) ด้วยค่า \(1/a\) เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1
      \( \quad \begin{array}{c}
      \phantom{1} \\
      R_2 \to -\frac{1}{2} R_2 \\
      \phantom{1}
      \end{array} \quad
      \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{-\frac{7}{2}} & \bbox[yellow]{-6} \\
      0 & 0 & 5 & 0 & -17 & -29
      \end{bmatrix}
      \)
   3. หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของหลักในข้อ 5.1 เป็นศูนย์ทั้งหมด
      \( \quad \begin{array}{c}
      \phantom{1} \\
      \phantom{1} \\
      R_3 \to -5 R_2 + R_3
      \end{array} \quad
      \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \\
      0 & 0 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{\frac{1}{2}} & \bbox[yellow]{1}
      \end{bmatrix}
      \)
   4. ตอนนี้ เราได้ทำ 2 แถวแรกเสร็จแล้ว ให้กลับไปเริ่มทำข้อ 1 ใหม่ กับเมทริกซ์ย่อยที่เหลือ (แถวที่ 3)
      \( \qquad \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{-\frac{7}{2}} & \bbox[cyan]{-6} \\
      0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1
      \end{bmatrix}
      \)
   5. หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด (ของเมทริกซ์ย่อย)
      \( \qquad \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{-\frac{7}{2}} & \bbox[cyan]{-6} \\
      0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{\frac{1}{2}} & 1
      \end{bmatrix}
      \)
   6. ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักมีค่า \(a\) ให้คูณแถวแรก (ของเมทริกซ์ย่อย) ด้วยค่า \(1/a\) เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1
      \( \quad \begin{array}{c}
      \phantom{1} \\
      \phantom{1} \\
      R_3 \to 2 R_3
      \end{array} \quad
      \begin{bmatrix}
      \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{2} & \bbox[cyan]{-5} & \bbox[cyan]{3} & \bbox[cyan]{6} & \bbox[cyan]{14} \\
      \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{1} & \bbox[cyan]{0} & \bbox[cyan]{-\frac{7}{2}} & \bbox[cyan]{-6} \\
      0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2}
      \end{bmatrix}
      \)
   7. เราได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดแล้ว เราสามารถทำต่อให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูปได้
      \( \qquad \begin{bmatrix}
      1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
      0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \\
      0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
      \end{bmatrix}
      \)

วิธีการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination)

 ตัวอย่าง  จงจัดรูปเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป

\( \qquad \begin{bmatrix}
1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
\)

1. เริ่มจากแถวล่างสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด และไล่ทำขึ้นมาเรื่อยๆ ให้หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้เลขในหลักที่อยู่บนสมาชิกนำเป็นศูนย์ทั้งหมด
   \( \quad \begin{align*}
   \begin{array}{c}
   \phantom{1} \\
   R_2 \to \frac{7}{2} R_3 + R_2 \\
   \phantom{1}
   \end{array} \quad
   &\begin{bmatrix}
   1 & 2 & -5 & 3 & 6 & 14 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
   \end{bmatrix} \\ \\
   \quad \begin{array}{c}
   R_1 \to -6 R_3 + R_1 \\
   \phantom{1} \\
   \phantom{1}
   \end{array} \quad
   &\begin{bmatrix}
   1 & 2 & -5 & 3 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{2} \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
   \end{bmatrix} \\ \\
   \quad \begin{array}{c}
   R_1 \to 5 R_2 + R_1 \\
   \phantom{1} \\
   \phantom{1}
   \end{array} \quad
   &\begin{bmatrix}
   1 & 2 & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{3} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{7} \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
   \end{bmatrix}
   \end{align*}
   \)
2. เราได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูปแล้ว
   \( \qquad \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 7 \\
   0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2
   \end{bmatrix}
   \)

สรุป

การจัดรูปเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดลดรูป เราเรียกว่า การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination) ซึ่งวิธีนี้ประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรกคือการทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1 และเลขที่อยู่ใต้สมาชิกนำมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด และส่วนที่สองคือการทำให้เลขที่อยู่เหนือสมาชิกนำมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งถ้าเราทำเฉพาะส่วนแรก เราจะได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เราเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)

แบบฝึกหัด

จงหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใช้วิธี Gauss-Jordan elimination

\( \begin{align*}
\qquad x_1 + 3x_2 \; – \; 2x_3 + 2x_5 &= 0 \\
\qquad 2x_1 + 6x_2 \; – \; 5x_3 \; – \; 2x_4 + 4x_5 \; – \; 3x_6 &= -1 \\
\qquad 5x_3 + 10x_4 + 15x_6 &= 5 \\
\qquad 2x_1 + 6x_2 + 8x_4 + 4x_5 + 18x_6 &= 6
\end{align*}
\)